Limiti Notevoli

[davicos]

Salve a tutti,
circa questo limite:

$ lim_(x -> +infty) (1+ x/(2x^2+1))^x $

Mi piacerebbe conoscere che strategia adottereste voi per poterlo risolvere da me. Vorrei riuscire a farlo da solo, come tanti altri che ho fatto, ma da questo in poi iniziano a diventare molto ostici. Quindi magari cerco solo un indizio piuttosto che tutto il procedimento. Grazie!

[kobeilprofeta]

$[f(x)]^x=e^{log[[f(x)]^x]}=e^{x*log[f(x)]}$

[quantunquemente]

"davicos":Salve a tutti,
circa questo limite:

$ lim_(x -> +infty) (1+ x/(2x^2+1))^x $

Mi piacerebbe conoscere che strategia adottereste voi per poterlo risolvere da me. Vorrei riuscire a farlo da solo, come tanti altri che ho fatto, ma da questo in poi iniziano a diventare molto ostici. Quindi magari cerco solo un indizio piuttosto che tutto il procedimento. Grazie!

puoi ricondurti,con qualche artificio, all'applicazione del limite notevole
$ lim_(x -> infty) (1+1/x)^infty=e $

[@melia]

Sicuramente quantunquemente ha fatto un errore di battitura e voleva scrivere
$lim_(x -> infty) (1+1/x)^x=e$

[davicos]

Si, immaginavo. Circa l'artificio, si me ne ero accorto che potevo ricondurmi al limite notevole sopra citato, però non riesco proprio, per il fatto che mi ritrovo ad avere due volte la variabile $x$ e quindi non riesco a procedere con il cambiamento di variabile..

[kobeilprofeta]

il mio consiglio ti fa schifo?

[@melia]

E allora non cambiare la variabile. Ricorda che l'esponente deve essere il reciproco dell'addendo che tende a 0. Caccia tutto tra parentesi quadre e infine metti l'esponente che ti manca per far quadrare i conti. ... Oppure segui il consiglio di kobeilprofeta, ma in questo caso credo che ti serva L'Hospital.

[davicos]

Rispondo a kobeilprofeta dicendo che non mi fa schifo il tuo consiglio, solo che ugualmente non mi torna l'esercizio e come dice @melia dovrei applicare L'Hospital che ancora non ho fatto, quindi non mi resta che provare a fare come dice @melia (anche se devo interpretare quanto scritto da quest'ultima).

[@melia]

Abbiamo detto $lim_(x -> infty) (1+1/x)^x=e$, quindi $lim_((2x^2+1)/x -> infty) [(1+ x/(2x^2+1))^((2x^2+1)/x)]=e$
Però bisogna mettere un po' di ordine agli esponenti in modo che venga calcolato il limite proposto, quindi

$lim_(x -> +infty) (1+ x/(2x^2+1))^x=lim_(x -> +infty) [(1+ x/(2x^2+1))^((2x^2+1)/x)]^(x^2/(2x^2+1))=e^(1/2) = sqrt e$

[davicos]

Sono arrivato allo stesso risultato applicando (in maniera del tutto sbagliata) il limite notevole $ln(1+x)/x$. Non ho tenuto conto a cosa tendeva $x$ e quindi tutto quel blocco che ho fatto uscire fuori lo fatto equivalere ad $1$. La cosa incredibile è che mi è venuto lo stesso risultato, ma con un procedimento un pò assurdo. Quanta magia c'è in matematica. Comunque, molto obbligato.

[kobeilprofeta]

"davicos":Rispondo a kobeilprofeta dicendo che non mi fa schifo il tuo consiglio, solo che ugualmente non mi torna l'esercizio e come dice @melia dovrei applicare L'Hospital che ancora non ho fatto, quindi non mi resta che provare a fare come dice @melia (anche se devo interpretare quanto scritto da quest'ultima).

Ahahah era ironico
Dato che non avevi scritto nulla riguardo

[davicos]

Si si lo so tranquillo grazie!