Limiti e punti isolati

[marcus1121]

Osservazione:
se $c$ è un punto isolato del dominio di una funzione $f(x)$, non ha alcun senso calcolare il limite di $f(x)$ per $x->c$. In questo caso è solo possibile calcolare $f(x)$.
Qualcuno mi può fare un esempio....

[Palliit]

Ciao. Considera : $f(x)=sqrt(-|sin x|)$ , ha dominio $D={k pi}$ $forall k in ZZ$ , costituito da soli punti isolati; è privo di senso qualsiasi limite di $f(x)$ per $x rightarrow k pi$, mentre è chiaramente: $f(k pi)=0$.

[Gendarmevariante1]

Basta che prendi una qualsiasi funzione e togli dal dominio un intervallo, lasciando solo un punto in mezzo: ad esempio
$f(x) = { ( x^2 ),( 51 ),( x^2 ):} |( per x<2), (per x=3), (per x>4)| $ definita sul dominio $D=(-infty,2)uu{3}uu(4,+infty)$

Questa funzione è una parabola che si interrompe fra 2 e 4, tranne in un solo punto x=3 in cui assume il valore 51. Il punto x=3 è isolato, perché se prendi ad esempio il suo intorno $(3-1/2, 3+1/2)$ non trovi dentro nessun altro punto del dominio oltre a 3. Capisci quindi che non ha senso parlare di limite per x che tende a 3, perché non sappiamo affatto come si comporta la funzione attorno a quel punto, dato che questa lì non esiste! (ricorda che il limite ti dice "dove sta andando" la funzione attorno ad un punto, non importa cosa succede nel punto stesso!).

[marcus1121]

altro chiarimento...la definizione di continuità di una funzione in un punto $c$ può essere estesa al caso in cui il punto $c$ è soltanto un punto di accumulazione del dominio e appartiene a esso.
Nei casi più comuni $c$ è un punto di un intervallo in cui la funzione è definita.
Nel caso si tratti di un punto isolato si pone per definizione che la funzione è continua in $c$
Intuitivamente penso di aver capito, ma come posso esplicitare con un esempio concreto?
grazie per la collaborazione

[Palliit]

"marcus112":Nel caso si tratti di un punto isolato si pone per definizione che la funzione è continua in $c$

Mi trovi in totale disaccordo. L'impossibilità di definire il limite per $x rightarrow c$ di una funzione sancisce l'impossibilità di affermare la continuità della stessa in $x=c$.
Se $c$ è un punto isolato del dominio di $f$, il limite per $x rightarrow c$ della funzione non ha senso e quindi la funzione non è continua in $x=c$, malgrado esista $f(c)$. Cosa che, tra l'altro, è in completa coerenza con l'interpretazione grafica del concetto di continuità di una curva.

[marcus1121]

Quindi se si parla di continuità di una funzione i punti coinvolti sono naturalemente i punti di accumulazione...

ma su alcuni libri che ho letto si dice anche che se
$c$b è un punto isolato si pone per definizione (su di un libro)o per convenzione(sull'altro libro che la funzione è continua in $c$
Quindi io dovrei dire che è sbagliato quello che hanno scritto...ho c'è qualcosa che va interpretata e che io non capisco!

grazie

[Palliit]

Per curiosità: che libri sono? Perchè in effetti l'ho trovata anch'io (sul web) come descrizione, e la cosa mi lascia francamente perplesso... Anzi credo proprio di star sbagliando e mi piacerebbe che qualcuno che ne sa più di me mi/ci illuminasse.

[marcus1121]

Moduli di lineamenti di matematica per il triennio dei licei scientifici e su di un altro dove invece usano l'espressione per convenzione.
Se rifletti su

$f(x)=sqrt(-|sin x|)$ , ha dominio $D={k pi}$ $forall k in ZZ$ , costituito da soli punti isolati; è privo di senso qualsiasi limite di $f(x)$ per $x rightarrow k pi$,(Infatti questo limite da sempre 0) mentre è chiaramente: $f(k pi)=0$.

Il limite per un punto isolato esiste, non si può però applicare la definizione di funzione continua, applicabile, però, ai punti di accumulazione.
Questo è quello che capisco io...fammi sapere

[Seneca1]

@Palliit: Con la definizione di continuità vera e propria, ovvero quella $\epsilon , \delta$, la funzione risulta continua in un punto isolato. Infatti, detto $x_0$ tale punto, comunque scegli un $\epsilon$-intorno di $f(x_0)$, esiste un $\delta$-intorno di $x_0$ tale che in esso non ci sono punti del dominio distinti da $x_0$ (definizione di punto isolato). Vedi facilmente che questo $\delta$-intorno (che in realtà non dipende da $\epsilon$) soddisfa la definizione di continuità.

[theras]

@Seneca.
Nella definizione di continuità che ho in mente io è imprescindibile la condizione $x_0 in X nn DX$,
e dunque son portato a sposare la versione di Palliit
(migliore di quella di Barney ..sopratutto in merito all'interpretazione grafica,
perchè mi risulta alquanto dura parlare di "piccoli spostamenti" delle ascisse intorno ad un punto isolato!):
apriamo un bel dibattito tra scuole diverse o ppure stabiliamo,per convenzione(o amor di pace che dir si voglia ,)che
$f$ è continua in $x_0hArrAAepsilon inRR^+$ $EEdelta_(epsilon)" t.c. "|f(x)-f(x_0)| e non,come probabilmente abitudine comune di Palliit e mia,$X'=I(x_0,delta_(epsilon)) nn domf setminus{x_0}$?
Saluti dal web.

[Palliit]

@Seneca: intanto grazie per la risposta. Il problema (mi pare di capire, anche in relazione alle abitudini comuni a me e @theras) sia che di definizioni di continuità se ne trovano differenti, oltre a quella (se non sbaglio dovuta a Cauchy) che tu indichi come vera e propria. Sul Geymonat (analisi I) il problema viene di fatto aggirato definendola in termini analoghi (cioè con $epsilon, delta$ ) ma specificando che il punto $x_0$ deve appartenere ad un intervallo non ridotto ad un solo punto, evitando quindi di dire alcunchè nel caso di punti isolati e quindi lasciando aperto il dubbio; in parecchi casi la definizione che si trova richiama il limite per $x rightarrow x_0$, il che (in questo divergo rispetto all'opinione di @marcus112) impedisce di definire continua una funzione nel caso che $x_0$ sia isolato e pertanto non esista il limite. E' peraltro la definizione, quella che fa riferimento al limite, che molti libri di testo delle superiori adottano (penso ad esempio al Dodero)

@marcus112: la definizione che io ricordo di limite uguale ad $l$ per $x rightarrow x_0$ prevede che la disuguaglianza (1) $|f(x)-l|intorno bucato) ; inoltre è richiesto, sempre per la definizione, che $x_0$ sia un punto di accumulazione del $Dom(f)$: ciò nel caso che $x_0$ sia isolato porta all'impossibilità di verificare la (1) in quanto in un "intorno bucato" di ampiezza opportunamente piccola $f(x)$ non è definita.

Saluti a tutti

[Seneca1]

A me sembra meglio assumere una definizione che non lasci ambiguità di quel tipo.

Il motivo per cui i testi di liceo non danno definizioni di continuità nel caso dei punti isolati è (a mio avviso) perché al liceo solitamente le funzioni che si studiano sono definite su un intervallo non degenere.

[Palliit]

@Seneca: sono in completo accordo con entrambe le affermazioni del tuo ultimo post. E a questo punto anche sul fatto che la definizione di continuità si debba estendere anche ai punti isolati, per quanto la cosa sia controintuitiva.

[theras]

Beh,ragazzi,permettetemi di dissentire:
per i discorsi controintuitivi i tempi devon essere maturi
(che significa solo che trovo inopportuno usare quella definizione "forzata" a Scuola Superiore,
perchè metterebbe lo studente in difficolta nel primo,tradizionale ed indispensabile,approccio "grafico" al concetto..)!
Più avanti negli studi son d'accordo che quella "forzatura" possa,ed in certi casi "debba",esser fatta
(per completezza,anche se lascia il tempo che trova,
vi dico però che in testi quali il Caponnetto-Catania la definizione sottointende che $x_0 in DX$..):
ma sicuri che non può generare confusione,al primo approccio con l'Analisi Infinitesimale?
Saluti dal web.

[marcus1121]

A parte tutta la teoria...che nel mio caso lascia dubbi....posso vedere un esempio concreto
della definizione se $c$ è un punto isolato del dominio di una funzione si pone per convenzione o definizione che la funzione è continua i $c$ e quindi poter dimostrare che è anche così.

[tetravalenza]

"theras":
apriamo un bel dibattito tra scuole diverse o ppure stabiliamo,per convenzione(o amor di pace che dir si voglia ,)che
$f$ è continua in $x_0hArrAAepsilon inRR^+$ $EEdelta_(epsilon)" t.c. "|f(x)-f(x_0)| e non,come probabilmente abitudine comune di Palliit e mia,$X'=I(x_0,delta_(epsilon)) nn domf setminus{x_0}$?
Saluti dal web.

Ciao, scusate se riprendo questa vecchia discussione, ma stavo leggendo il paragrafo "Punti di Discontinuità" di S. Lancelotti, dove appunto si afferma che "...affinché un punto $x_0$ sia di discontinuità per una funzione $f$, necessariamente $x_0$ deve appartenere a dom($f$) e deve essere un punto di accumulazione per dom($f$), dato che $f$ è continua nei punti isolati del suo dominio".
Non capivo all'inizio molto bene la questione allora ho cercato qui sul forum. Se io prendo
\[
X'=I(x_0,\delta_{\epsilon})\cap \text{dom}(f)=\lbrace x_0\rbrace
\]
risolvo: $|f(x_0)-f(x_0)| Prendendo spunto dalla funzione di Dirichlet questa funzione va bene come esempio di continuità in punti isolati? La funzione di Dirichlet però non è continua.
\[
f(x)=1, x\in N
\]

[axpgn]

Se cerchi nel forum troverai varie discussioni in merito, tra le quali questa bella e chiara di gugo82.

[tetravalenza]

OK grazie

[Zero87]

[xdom="Zero87"]Tutto bene quel che finisce bene, chiudo questo necropost.[/xdom]
Se serve qualcosa, @tetravalenza, apri un'altra discussione oppure scrivi in privato al sottoscritto (o a un altro mod) per farti spostare questi ultimi messaggi. In realtà pensavo in partenza di scindere la discussione, ma se le cose si sono risolte così, chiudo e basta.

Buon fine settimana, forumisti.