Limiti e ordine di infinito

[scrittore1]

Ciao,
mi sono imbattuto in un limite che mette in mostra le mie lacune.
Eccolo qui:
$lim_(x->infty)(sqrt(x^2+x+2)-sqrt(x^2+3))$

Ho ragionato così:
siccome $x^2+x+2$ è dello stesso ordine di infito di $x^2$ e siccome $x^2+3$ è dello stesso ordine di infito di $x^2$ allora al posto del limite dato posso scrivere:
$lim_(x->infty)(sqrt(x^2)-sqrt(x^2))$ ossia
$lim_(x->infty)(|x|-|x|)=0$
invece fa $1/2$

Dove sbaglio?
grazie

[gabriello47]

Hai una forma indeterminata $\+infty$$\-infty$, che non fa 0. Prova invece a razionalizzare e vedrai che torna

[scrittore1]

ok grazie, mi hai dato un'alternativa, io però continuo a non capire cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento.

[Seneca1]

"scrittore":ok grazie, mi hai dato un'alternativa, io però continuo a non capire cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento.

Non hai nessun teorema che ti permetta di fare quella semplificazione...

[Seneca1]

"scrittore":$lim_(x->infty)(sqrt(x^2+x+2)-sqrt(x^2+3))$

Un'altra via per risolvere questo limite è quella di utilizzare un limite notevole che spesso non viene presentato al liceo:

$lim_( y -> 0 ) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$

Prova a ricondurti a questo...

[scrittore1]

"Seneca":Non hai nessun teorema che ti permetta di fare quella semplificazione...

Quindi sostituire una funzione con un'altra asintoticamente equivalente è possibile solo quando ho una forma indeterminata del tipo:
$infty/infty$ oppure $0/0$ e non $infty-infty$? Questa regola la posso memorizzare così?

Intanto sono riuscito a risolvere il limite razionalizzando come suggerito nel primo post di risposta, ma non riesco proprio a ricondurmi al limite notevole suggerito da seneca.

[Seneca1]

$lim_(x->infty)(sqrt((x^2+x+2)/(x^2 + 3)) - 1)/(1/sqrt(x^2 + 3))$

$lim_(x->infty)(sqrt((x^2 + 3 + x - 1)/(x^2 + 3)) - 1)/(1/sqrt(x^2 + 3))$

$lim_(x->infty)(sqrt(1+ ( x - 1)/(x^2 + 3) ) - 1)/(1/sqrt(x^2 + 3))$

$lim_(x->infty) (x-1)/(sqrt(x^2 + 3)) * sqrt(x^2 + 3)/(x - 1) * (sqrt(1+ ( x - 1)/(x^2 + 3) ) - 1)/(1/sqrt(x^2 + 3))$

$lim_(x->infty) (x-1)/(|x| * sqrt( 1 + 3/x^2)) * (sqrt(1+ ( x - 1)/(x^2 + 3) ) - 1)/((x-1)/(x^2 + 3)) = 1 * 1/2$

[scrittore1]

grazie per lo sbattimento Seneca, da solo non ce l'avrei mai fatta

[Seneca1]

"scrittore":grazie per lo sbattimento Seneca, da solo non ce l'avrei mai fatta

Secondo me è importante conoscere altri metodi... Ti propongo ora questo:

$lim_(x->infty)(root(2012)(x^(2012)+x+2)-root(2012)(x^(2012)+3))$

[scrittore1]

non lo so... ho provato a raccogliere $x^2012$ ma cambia solo la forma di indeterminazione. Da lì potrei al massimo risolverlo con De L'Hopital, ma non è questo che tu vuoi mostrarmi. Provo a fare qualcos'altro...