Limiti e limiti notevoli aiuto!!!

[aneres93]

mi sapreste svolgere i seguenti limiti?

1-

[math]\begin{matrix}
lim\\
x \to +\infty \left
\end{matrix}
( \frac{2x+1}{2x+3} \right )^{x-1}[/math]

2-

[math]\begin{matrix}
lim\\
x \mapsto 0
\end{matrix}
\frac{(1+2x)^{4}-1}{x}[/math]

3-

[math]\begin{matrix}
lim\\
x \mapsto 1
\end{matrix}
\frac{x^{3}-3x+2}{x^{4}-4x+3}[/math]

[bimbozza]

1)

[math]\lim_{x \to \inf} (\frac{2x+1}{2x+3})^{x-1}[/math]

[math]\lim_{x \to \inf} (\frac{2x+1}{2x+3})^{x} *\frac{2x+3}{2x+1}[/math]

in entrambe le frazioni si raccoglie 2x

[math]\lim_{x \to \inf} (\frac{2x(1+ \frac{1}{2x})}{2x(1+ \frac{3}{2x})})^{x} *\frac{2x(1+ \frac{3}{2x})}{{2x(1+ \frac{1}{2x})}[/math]

si semplifica

[math]\lim_{x \to \inf} (\frac{1+ \frac{1}{2x}}{1+ \frac{3}{2x}})^{x} *\frac{1+ \frac{3}{2x}}{1+ \frac{1}{2x}}[/math]

e teniamo presente il limite notevole

[math]\lim_{x \to \inf} (1+ \frac{a}{x})^{x} =e^a[/math]

quindi applichiamo il limite
=

[math] \frac{e^{1/2} *1}{e^{3/2} *1}=e^{1/2-3/2}= \frac{1}{e}[/math]

2) ci si rifà al limite notevole

[math]\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\theta}-1}{x}=\theta[/math]

si moltiplica e si divide la funzione per 2

[math]\lim_{x \to 0} 2 \frac{(1+2x)^{\4}-1}{2x}=2*4=8[/math]

3)

[math]\lim_{x \to 1} \frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}[/math]

scomponiamo numeratore e denominatore

[math]\lim_{x \to 1} \frac{(2+x)(x^2-2x+1)}{(x^2+2x+3)(x^2-2x+1)}[/math]

si semplifica

[math]\lim_{x \to 1} \frac{2+x}{x^2+2x+3}[/math]

e si applica il limite

[math]\lim_{x \to 1} \frac{2+x}{x^2+2x+3}= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}[/math]