Limiti, differenziazione implicità, continuità di una funz.
Si tratta di alcuni esercizi di un corso di matematica per scienze economiche, effettivamente esercizi analoghi li dovevo (e sapevo) fare benissimo anni fa al liceo, sicché non so se sia opportuno utilizzare questa sezione del forum od un’altra. Nel dubbio scrivo qui, chiedendo scusa qualora un’altra sezione fosse stata piú opportuna.
1.
L’equazione $lny+y=1-2lnx-0,2(lnx)^2$ definisce y come funzione di x, con x>0 e y>0.
Calcolate y' e mostrate che y'=0 per $x=e^-5$
La differenziazione implicita non è niente di complicato
$1/y y' + y' = -2/x - 0,2 * 2lnx *1/x$
$y'((1+y)/y) = 1/x (-2 - 0,4lnx)$
$y'=1/x (-2 - 0,4lnx)*y/(1+y)$
La questione è: se voglio esprimere il tutto in funzione di x, come accidenti trovo il valore di y? Ricavare y dalla funzione iniziale mi sembra tutt’altro che banale...
2.
Sia f(x) per ogni x>0 definita attraverso
$f(x)=(lnx)^3-2(lnx)^2+lnx$
(a)calcolare $f(e^2)$ e determinare gli zeri di $f(x)$ (facile: sostituendo si ottiene $f(e^2)=2$; ed eguagliando la funzione a zero si trovano come risultati x=1 e x=e)
(b)Mostrare che f(x), definito nell’intervallo [e,infinito) ha una funzione inversa h e determinare h'(2). Per ricavare l’inversa dovrei ricavare x ed esprimerlo in funzione di y... Come faccio?
3.
Verificare la continuità delle seguenti funzioni.
(a) f(x)=|x|
Intuitivamente so che non è una funzione continua, perché in x=0 c’è un punto angoloso, però non so spiegare perché.
Che io sappia le condizioni di continuità in un punto $x_0$ sono:
I. $f(x_0)$ esiste
II. limite sinistro e limite destro esistono e sono eguali a $f(x_0)$
Ora le due condizioni sono soddisfatte. Immagino che manchi qualcosa, forse che la funzione deve essere derivabile?
In tal caso anche qui ricordo che una funzione in un punto angoloso non è derivabile, ma non saprei dire perché. I valori assoluti non li ho trovati molto spesso, e mi hanno sempre dato un po’ noia...
Grazie per l’assistenza
[xdom="Seneca"]Sposto in Secondaria II grado.[/xdom]
1.
L’equazione $lny+y=1-2lnx-0,2(lnx)^2$ definisce y come funzione di x, con x>0 e y>0.
Calcolate y' e mostrate che y'=0 per $x=e^-5$
La differenziazione implicita non è niente di complicato
$1/y y' + y' = -2/x - 0,2 * 2lnx *1/x$
$y'((1+y)/y) = 1/x (-2 - 0,4lnx)$
$y'=1/x (-2 - 0,4lnx)*y/(1+y)$
La questione è: se voglio esprimere il tutto in funzione di x, come accidenti trovo il valore di y? Ricavare y dalla funzione iniziale mi sembra tutt’altro che banale...
2.
Sia f(x) per ogni x>0 definita attraverso
$f(x)=(lnx)^3-2(lnx)^2+lnx$
(a)calcolare $f(e^2)$ e determinare gli zeri di $f(x)$ (facile: sostituendo si ottiene $f(e^2)=2$; ed eguagliando la funzione a zero si trovano come risultati x=1 e x=e)
(b)Mostrare che f(x), definito nell’intervallo [e,infinito) ha una funzione inversa h e determinare h'(2). Per ricavare l’inversa dovrei ricavare x ed esprimerlo in funzione di y... Come faccio?
3.
Verificare la continuità delle seguenti funzioni.
(a) f(x)=|x|
Intuitivamente so che non è una funzione continua, perché in x=0 c’è un punto angoloso, però non so spiegare perché.
Che io sappia le condizioni di continuità in un punto $x_0$ sono:
I. $f(x_0)$ esiste
II. limite sinistro e limite destro esistono e sono eguali a $f(x_0)$
Ora le due condizioni sono soddisfatte. Immagino che manchi qualcosa, forse che la funzione deve essere derivabile?
In tal caso anche qui ricordo che una funzione in un punto angoloso non è derivabile, ma non saprei dire perché. I valori assoluti non li ho trovati molto spesso, e mi hanno sempre dato un po’ noia...
Grazie per l’assistenza
[xdom="Seneca"]Sposto in Secondaria II grado.[/xdom]
Risposte
"Princeps":
1.
L’equazione $ lny+y=1-2lnx-0,2(lnx)^2 $ definisce $ y$ come funzione di $x$, con $x>0$ e $y>0$.
Calcolate $y'$ e mostrate che $y'=0$ per $ x=e^-5 $
La differenziazione implicita non è niente di complicato
$ 1/y y' + y' = -2/x - 0,2 * 2lnx *1/x $
$ y'((1+y)/y) = 1/x (-2 - 0,4lnx) $
$ y'=1/x (-2 - 0,4lnx)*y/(1+y) $
La questione è: se voglio esprimere il tutto in funzione di x, come accidenti trovo il valore di y? Ricavare y dalla funzione iniziale mi sembra tutt’altro che banale...
Nel caso in esame non è possibile esprimere $y=f(x)$. E l'esercizio infatti non lo chiede. Ti chiede solo di verificare che $y'=0$ per $ x=e^-5 $. Sostituendo hai:
$ y'=1/e^-5 (-2 - 0,4ln (e^-5))*y/(1+y) = e^5 (-2 - 0,4 \cdot (-5))*y/(1+y) =e^5 (-2 +2)*y/(1+y)=0 $
"Princeps":
2.
Sia $f(x)$ per ogni $x>0$ definita attraverso
$ f(x)=(lnx)^3-2(lnx)^2+lnx $
(a)calcolare $ f(e^2) $ e determinare gli zeri di $ f(x) $ (facile: sostituendo si ottiene $ f(e^2)=2 $; ed eguagliando la funzione a zero si trovano come risultati $x=1$ e $x=e$)
(b)Mostrare che $f(x)$, definito nell’intervallo $[e,+oo)$ ha una funzione inversa $h$ e determinare $h'(2)$. Per ricavare l’inversa dovrei ricavare $x$ ed esprimerlo in funzione di $y$... Come faccio?
Per mostrare rigorosamente che una funzione $f$ ammette inversa, bisogna verificare che sia iniettiva che suriettiva. Cominciamo dalla seconda: una funzione si dice suriettiva se ad ogni elemento del dominio $x \in D_f$ è associato almeno un elento del codominio $f(x) \in C_f$. Il dominio della funzione è $D_{f } = RR^{+}$. Il codominio è $C_{f } = RR$. Pertanto hai $f: RR^{+} -> RR$. Essendo $f(RR^{+})=RR$, la funzione è suriettiva su tutto il dominio.
Successivamente, una funzione si dice iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio (ovvero ogni controimmagine corrisponde uno e un solo elemento del dominio). Parto dalla considerazione che tale funzione, avendo due zeri, non può essere iniettiva su tutto il dominio. Quindi bisogna cercare quelle "zone" in cui la funzione è iniettiva (una delle quali è evidentemente $[e,+oo)$ richiesta dall'esercizio). Il metodo classico sarebbe effettuare la prova della "retta orizzontale", ossia risolvere il sistema
${(f(x)=(lnx)^3-2(lnx)^2+lnx,),(f(x)=k,):}$
ossia l'equazione
$(lnx)^3-2(lnx)^2+lnx=k$
e verificare per quali valori di $k$ l'equazione ammette una ed una sola soluzione. Anche sostituendo $lnx=t$, non è proprio banale da risolvere (è un'equazione di 3°grado e dubito che tu sappia risolverla con la formula risolutiva). Quindi proporrei una "scorciatoia" studiando la crescenza/decrescenza della funzione. Nota infatti che se una funzione è strattamente crescente\decrescente è iniettiva.
$f'(x)=3 \cdot (lnx)^2/x - 4 \cdot lnx/x + 1/x$
SStudiando la disequazione
$3 \cdot (lnx)^2/x - 4 \cdot lnx/x + 1/x>0$
si ottiene
$\{x \in RR^{+}$ $|$ $ 0
Questo significa che $x=root(3)(e)$ è un massimo e che $x=e$ è un minimo. Pertanto, se presi disgiuntamente, gli intervalli individuano i tratti in cui la funzione è iniettiva, ossia:
$(0,root(3)(e))$ $ ,$ $[root(3)(e),e)$ $,$ $[e,+oo)$.
Pertanto si è dimostrato che nella restrizione $[e,+oo)$ la funzione "diventa" solo crescente e pertanto iniettiva. Essendo ivi anche suriettiva (lo è su tutto $RR^{+}$ ), essa ammette inversa.
Nota che l'esecizio non ti chiede di trovare l'inversa, ma solo di calcolarne la derivata in $x=2$ (ossia nella restrizione $[root(3)(e),e)$). Per farlo basta applicare la formula per la derivata della funzione inversa:
$h(y)=D[f^{-1}(y)]=1/{f'(x)}=1/{3 \cdot (lnx)^2/x - 4 \cdot lnx/x + 1/x}$
la quale in $x=2$ risulta semplicemnte pari a:
$1/{3 \cdot (ln2)^2/2 - 4 \cdot ln2/2 + 1/2}=2/{3 \cdot (ln2)^2 - 4 \cdot ln2 + 1}$
"Princeps":
3.
Verificare la continuità delle seguenti funzioni.
(a) $f(x)=|x|$
Intuitivamente so che non è una funzione continua, perché in $x=0$ c’è un punto angoloso, però non so spiegare perché.
Che io sappia le condizioni di continuità in un punto $ x_0 $ sono:
I. $ f(x_0) $ esiste
II. limite sinistro e limite destro esistono e sono eguali a $ f(x_0) $
Ora le due condizioni sono soddisfatte. Immagino che manchi qualcosa, forse che la funzione deve essere derivabile?
In tal caso anche qui ricordo che una funzione in un punto angoloso non è derivabile, ma non saprei dire perché. I valori assoluti non li ho trovati molto spesso, e mi hanno sempre dato un po’ noia...
La funzione valore assoluto è una funzione continua! Il fatto che in $x=0$ ci sia un punto angoloso, significa solo che lì non è derivabile.
La condizione di continuità è giusta ed infatti:
Cos'è il valore assoluto? (4^ superiore!!!) E' quella funzione che ti ritorna il modulo del numero. Quindi il valore assoluto di un numero posito è il numero positivo stesso; il valore assoluto di un numero negativo è il numero cambiato di segno (che diventa quindi positivo); il valore assoluto di zero è zero. FINE.
Formalmente:
$ |x|={(x,if x>=0),(-x,if x<0):}$
Pertanto la tua funzione si può scrivere come:
$ f(x)={(x,if x>=0),(-x,if x<0):}$
Verifichiamo la continuità:
$lim_{x->0^{-}} f(x) = lim_{x->0^{+}} f(x) =f(0)$
$lim_{x->0^{-}} -x = lim_{x->0^{+}} x =f(0)$
$0 = 0 =0$
Pertanto la funzione è continua.
Infine, ma l'esercizio non lo chiede, se vuoi verificare la derivabilità, devi avere che derivata destra e derivata sinistra sono uguali, ossia, posto $x_0=0$:
$lim_{h->0^{-}} {f(x_0+h)-f(x_0)}/h = lim_{h->0^{+}} {f(x_0+h)-f(x_0)}/h$
$D^{-}[f(x)]=D^{+}[f(x)]$
$-1=1$
che è ovviamente falso. Quindi la funzione non è derivabile in $x_0=0$.
"fede.unive":
Nota che l'esecizio non ti chiede di trovare l'inversa, ma solo di calcolarne la derivata in $x=2$ (ossia nella restrizione $[root(3)(e),e)$). Per farlo basta applicare la formula per la derivata della funzione inversa:
$h(y)=D[f^{-1}(y)]=1/{f'(x)}=1/{3 \cdot (lnx)^2/x - 4 \cdot lnx/x + 1/x}$
la quale in $x=2$ risulta semplicemnte pari a:
$1/{3 \cdot (ln2)^2/2 - 4 \cdot ln2/2 + 1/2}=2/{3 \cdot (ln2)^2 - 4 \cdot ln2 + 1}$
La formula per la derivata della funzione inversa?
Non conosco questa formula.
Praticamente il reciproco della derivata equivarrebbe alla funzione inversa?!
"Princeps":
Praticamente il reciproco della derivata equivarrebbe alla funzione inversa?!
No. Il reciproco della derivata della funzione "diretta" è la derivata della funzione inversa.
Sí, ho scritto una cosa intendendo l’altra. Non conoscevo questa relazione, potrà tornarmi molto utile!
Il resto è tutto chiaro, grazie per l’aiuto.
Il resto è tutto chiaro, grazie per l’aiuto.
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