Limiti di uno studio di funzione con valore assoluto

[mm14]

Buongiorno, volevo fare questa domanda:
se io ho uno studio di funzione, in cui c'è un valore assoluto, esempio: $1/(|x|+5)$, devo fare i 2 casi:
$1/(-x+5)$ e $1/(x+5)$
eseguo l'insieme di definizione
$x!=5$ V $x!=-5$
poi faccio lo studio del segno ponendo prima tutta la funzione >0, studiando pero solo il denominatore(in questo caso)
$x!>5$ V $x!=-5$
unisco i 2 risultati con il grafico e trovo che la funzione e maggiore per:
$-oo5$
arrivo ai limiti
Ecco che arriva la mia domanda:in genere i limiti si fanno per x che tende a ogni valore dell'insieme di def, che in questo caso sarebbero 5 e -5.....ma dato che ho dovuto dividere la funzione in 2 casi che sono uno per $x<0$ e l'altro $x>0$ a causa del valore assoluto, devo calkcolare i limiti in quest modo:

lim per x che tende a -5 $1/(-x+5)$
lim per x che tende a -5 $1/(x+5)$

lim per x che tende a 5 $1/(-x+5)$
lim per x che tende a 5 $1/(x+5)$


o devo solo fare ogni limiti abbinato al suo segno?intendo dire così

lim per x che tende a -5 $1/(-x+5)$
lim per x che tende a 5 $1/(x+5)$

[mm14]

nello studio del segno ho cliccato male il simbolo, volevo mettere >

[MaMo2]

L'insieme di definizione della funzione è R per cui non devi fare nessuno dei limiti da te scritti.

Inoltre la funzione è sempre positiva.

[_prime_number]

Hai fatto confusione e ti dico subito perché: quando hai "spezzato" i casi non hai usato una scrittura ordinata e ti sei trovata quel marasma .

$f(x)=\frac{1}{5+|x|}$ diventa

$f(x)=$
$\frac{1}{5+x} $ se$ x \geq 0$
$\frac{1}{5-x}$ se$ x<0$

Il dominio della prima sarebbe $x\ne -5$ ma $-5$ non sta in $[0,+\infty)$ quindi non serve scriverlo. Idem per $5$. Dunque $D=\mathbb{R}$.
Per cui, non serve nemmeno fare i limiti, la funzione è continua.

Paola

[fireball1]

Tra l'altro che il dominio fosse [tex]\mathbb R[/tex] potevi vederlo fin dall'inizio, senza "spezzare" la funzione. Al denominatore hai [tex]|x|[/tex], che
è una quantità sempre [tex]\ge 0[/tex], sommata a 5, per cui...

[_prime_number]

Fireball ha ragione e dando un'occhiata preliminare alla funzione puoi sempre risparmiarti tanti conti.
Quello che volevo raccomandarti io è di essere molto ordinato nello svolgere l'esercizio, proprio per evitare "incidenti" come quello del primo post. A volte capita che il problema che esamini si articoli in più casi ed è importante l'esposizione che scegli, perché spesso devi tornare indietro a vedere da dove sei partito e rischi di perderti.

Paola

[Albert Wesker 27]

Solo come "curiosità", ti segnalo che, essendo la tua funzione del tipo $y=f(|x|)$, potevi disegnare la funzione $y=1/(5+x)$ per $x>=0$ per poi simmetrizzarla rispetto all'asse $y$.

[mm14]

é vero scusate, ma se invece di avere $1/(|x|+5)$ avevo $1/(5-|x|)$, avrei avuto un insieme di def (0;5)V(5;+inf) nel caso con $x>=0$ e (-inf;-5)V(-5;0) nel caso $x<=0$, quindi con i limiti cosa avrei dovuto fare?
Ogni limite andava fatto in base al proprio caso, oppure anche nel caso $x>=0$ andava fatto un limite dell'intervallo negativo, per esempio:
lim per x che tende a -inf di 1$/(5-x)$?
capito dov'è il mio dubbio....insomma vorrei sapere come si ''abbinano'' i limiti
grazie
cordiali saluti

[_prime_number]

Ogni limite va fatto in base al proprio caso. Se tu sei nel caso $x>0$ non ha senso pensare che $x$ tenda a qualcosa di negativo, cioè fuori dal dominio, capisci?

Paola

[mm14]

ok grazie

[mm14]

però scusa un'ultima cosa: quando trovo i 2 insiemi di definizioni di cui uno per $x>=0$ e $x<=0$....poi devo disegnare un grafico con le linee continue che si sovrappongono per unire i 2 insiemi di definizione giusto?o posso anche lasciarli cosi?

[mm14]

help please

[_prime_number]

Beh alla fine devi fare un dominio complessivo. Se ad esempio le condizioni sono
$x\ne 5 $ per $ x\geq 0, $x\ne-6$ per $ x<0)$
Il dominio alla fine risulterà: $\mathbb{R}-{5,-6}$

Paola