Limiti determinando il valore di n

[Giovalli]

Ciao, mi sono appena imbattuto in 2 esercizi coi quali ho alcune difficoltà purtroppo e spero che voi possiate delucidarmi:

Mi scuso per la scrittura delle formule, ma non sono abile a scrivere nell'altro formato e la pagina di aiuto mi restituisce errore.

Mi chiedono di verificare la correttezza dei limiti determinando i valori di n:

1) lim rad((16n+8)/n) =4
n->+inf


2) lim rad(n^2 +1) = +infinito
n->+infinito

Il mio problema sono le radici, una volta che arrivo a | f(x) -4|

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minomic

16 ott 2013, 11:27

Ciao, prendiamo il primo \[\lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{16n+8}{n}} = 4\] \[\left|\sqrt{\frac{16n+8}{n}}-4\right|<\epsilon\]\[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{16n+8}{n}} > 4-\epsilon\\
\sqrt{\frac{16n+8}{n}} < 4+\epsilon
\end{cases}
\] Facciamo i quadrati tralasciando i termini \(\epsilon ^2\) perchè poco significativi e considerando che \(8\epsilon\approx\epsilon\). \[
\begin{cases}
\frac{16n+8}{n}>16-\epsilon\\
\frac{16n+8}{n}< 16+\epsilon
\end{cases}
\] A questo punto il segno di $n$ è noto, dal momento che tende a $+oo$. Dal sistema si ottiene \[n > \frac{8}{\epsilon}\] che è proprio un intorno di $+oo$.

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[minomic]

Ciao, prendiamo il primo \[\lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{16n+8}{n}} = 4\] \[\left|\sqrt{\frac{16n+8}{n}}-4\right|<\epsilon\]\[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{16n+8}{n}} > 4-\epsilon\\
\sqrt{\frac{16n+8}{n}} < 4+\epsilon
\end{cases}
\] Facciamo i quadrati tralasciando i termini \(\epsilon ^2\) perchè poco significativi e considerando che \(8\epsilon\approx\epsilon\). \[
\begin{cases}
\frac{16n+8}{n}>16-\epsilon\\
\frac{16n+8}{n}< 16+\epsilon
\end{cases}
\] A questo punto il segno di $n$ è noto, dal momento che tende a $+oo$. Dal sistema si ottiene \[n > \frac{8}{\epsilon}\] che è proprio un intorno di $+oo$.