Limiti Chiarimenti
Salve oggi ho iniziato a fare i limiri per lo studio di funzione , ma non ci riesco proprio neanche quelli più semplici..
$lim_(x -> 1^-) (X^3+1)/(1-x^2) = +oo $
$lim_(x -> 1^+) (X^3+1)/(1-x^2) = -oo $
ma come è possibile?!! se sostituisco $1^+$ con la quantita di 1 + 0,0000001 e $1^-$ con 1-0.0000001 faccio tutto anche i segni ma mi escono diversi come mai!?!?!!
$lim_(x -> 1^-) (X^3+1)/(1-x^2) = +oo $
$lim_(x -> 1^+) (X^3+1)/(1-x^2) = -oo $
ma come è possibile?!! se sostituisco $1^+$ con la quantita di 1 + 0,0000001 e $1^-$ con 1-0.0000001 faccio tutto anche i segni ma mi escono diversi come mai!?!?!!
Risposte
Ciao, se nel primo provi a sostituire $0.9$ ottieni $9.1$, cioè un valore positivo e abbastanza grande. Possiamo quindi dire che il metodo della calcolatrice funziona. Ovviamente deve servire solo come verifica dopo aver fatto i calcoli...
Per calcolare quel limite (e anche il successivo) prova a scomporre numeratore e denominatore: il primo è una somma di cubi, mentre il secondo è una differenza di quadrati.
Per calcolare quel limite (e anche il successivo) prova a scomporre numeratore e denominatore: il primo è una somma di cubi, mentre il secondo è una differenza di quadrati.
come ottengo 9.1?
Sostituendo $0.9$ alla $x$:
\[
\frac{0.9^3+1}{1-0.9^2} = 9.1
\]
\[
\frac{0.9^3+1}{1-0.9^2} = 9.1
\]
ok ma xk esce $+∞$?
Hai provato a scomporre come ti avevo detto? 
\[
\frac{\cancel{\left(x+1\right)}\left(x^2-x+1\right)}{\cancel{\left(1+x\right)}\left(1-x\right)}
\] e quando passi al limite... prova a completare l'esercizio da qui.
\[
\frac{\cancel{\left(x+1\right)}\left(x^2-x+1\right)}{\cancel{\left(1+x\right)}\left(1-x\right)}
\] e quando passi al limite... prova a completare l'esercizio da qui.
ok forse ho capito....
comunque quando si fanno i limiri diuna funzione e si fanno quelli a $+- oo $
come si fanno tutte le operazioni ... cioè se ho
$lim_(x -> + oo) root(3)(x^2(x+2)$
sostituendo $ + oo$ avrò
$lim_(x -> + oo) root(3)( + oo^2( + oo+2) $ il risultato sarà???
e le cose tipo $e^ (+ oo)$ quanto fa?!
comunque quando si fanno i limiri diuna funzione e si fanno quelli a $+- oo $
come si fanno tutte le operazioni ... cioè se ho
$lim_(x -> + oo) root(3)(x^2(x+2)$
sostituendo $ + oo$ avrò
$lim_(x -> + oo) root(3)( + oo^2( + oo+2) $ il risultato sarà???
e le cose tipo $e^ (+ oo)$ quanto fa?!
"guardiax":
Salve oggi ho iniziato a fare i limiri per lo studio di funzione , ma non ci riesco proprio neanche quelli più semplici..
$ lim_(x -> 1^-) (X^3+1)/(1-x^2) = +oo $
$ lim_(x -> 1^+) (X^3+1)/(1-x^2) = -oo $
ma come è possibile?!!
Tieni presente che $oo$ non è un numero ben preciso ma un modo per indicare un numero estremamente grande. Dire , per esempio, che $x->+oo$ significa che $x$ tende a diventare un numero molto grande (tu puoi pensare ad un numero con milioni o miliardi di cifre, $x$ si avvicina ad un numero ancora più grande).
Detto ciò, sai che $1/0$ non ha significato, ma $lim_(x -> 0)(1/x)=oo$, perchè divedendo 1 per un numero piccolissimo (0,0001 ; 0,000001 ; 0,0000000000001 ; ...) ottengo un numero molto grande.
Ti chiedi perchè $ lim_(x -> 1^-) (x^3+1)/(1-x^2) = +oo $
il motivo è semplice, se $x->1^-$ significa che $x$ si avvicina a 1 da sinistra e quindi è minore di $1$ , come lo sarà anche una sua qualsiasi potenza.
Da ciò si deduce che $1-x^2$ sarà un numero positivo che tende a zero. Il limite del numeratore è positivo perchè somma di numeri positivi.
Credo che i due limiti ora dovrebbero esseri chiari, diversamente chiedi ulteriori chiarimenti.
"guardiax":
comunque quando si fanno i limiri diuna funzione e si fanno quelli a $ +- oo $
$ lim_(x -> + oo) root(3)( + oo^2( + oo+2) $ il risultato sarà???
Se $k$ è un numero reale qualsiasi si ha:
$oo+k=oo$ il segno di $oo$ rimane lo stesso. Prova tu a calcolare il limite tenedo conto del significato di $oo$.
$ e^(+ oo) $ è una potenza. Tieni presente la funzione esponenziale, non è difficile.
ok ragazzi ho capito tutto e grazie per l'aiuto ultima domanda
$lim_(x -> +oo) (x^2-2x+1)/(x^2+1)$
questo limite se sostituisco il $+oo$ avrò
$lim_(x -> +oo) ((+oo)^2-2(+oo)+1)/((+oo)^2+1)$
in fine uscirà $(+oo-oo)/(+oo)$ c'è una doppia forta indeterminata?!?! so che poi si risolve così
$lim_(x -> +oo) (x^2(1-2/x+1/x^2))/(x^2(1+1/x^2))=1$
ma dico è normale che mi esce quella forma indeterminata o sbaglio io qualcosa?!?! perchè se lo faccio a $-oo$ uscira solo $(+oo)/(+oo)$
$lim_(x -> +oo) (x^2-2x+1)/(x^2+1)$
questo limite se sostituisco il $+oo$ avrò
$lim_(x -> +oo) ((+oo)^2-2(+oo)+1)/((+oo)^2+1)$
in fine uscirà $(+oo-oo)/(+oo)$ c'è una doppia forta indeterminata?!?! so che poi si risolve così
$lim_(x -> +oo) (x^2(1-2/x+1/x^2))/(x^2(1+1/x^2))=1$
ma dico è normale che mi esce quella forma indeterminata o sbaglio io qualcosa?!?! perchè se lo faccio a $-oo$ uscira solo $(+oo)/(+oo)$
Hai sentito parlare di ordine di un infinito?
Dire che un infinito è "più grande" di un altro non è corretto. Infinito è sempre infinito! Ha però senso, ed è infatti quel che capita, che alcune funzioni tendano all'infinito (positivo o negativo) più velocemente di altre.
$oo^2$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $oo$, di conseguenza esso prevale, l'altro è come se non ci fosse.
Dire che un infinito è "più grande" di un altro non è corretto. Infinito è sempre infinito! Ha però senso, ed è infatti quel che capita, che alcune funzioni tendano all'infinito (positivo o negativo) più velocemente di altre.
$oo^2$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $oo$, di conseguenza esso prevale, l'altro è come se non ci fosse.
ah dunque non uscirà
$(+oo-oo)/(+oo)$ ma dato che e $+oo^2$ quel $-oo$ scompare e rimane solo $(+oo)/(+oo)$
$(+oo-oo)/(+oo)$ ma dato che e $+oo^2$ quel $-oo$ scompare e rimane solo $(+oo)/(+oo)$
"guardiax":
ah dunque non uscirà
$ (+oo-oo)/(+oo) $ ma dato che e $ +oo^2 $ quel $ -oo $ scompare e rimane solo $ (+oo)/(+oo) $
Esatto, ed, essendo infiniti dello stesso ordine, il limite è uguale al rapporto dei coefficienti dei termini di ugual grado massimo.
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