Limiti
Ciao a tutti non riesco a risolvere questi due limiti potreste aiutarmi?
$lim_(x->0)((sinx+x)/(tanx+x))$
Dovrei trovare il limite notevole (penso )sinx/x è tanx/x ma non riesco a isolarli
Quest'altro invece probabilmente é un limite neperiano...
$lim_(x->0)(1-tanx)^x$
$lim_(x->0)((sinx+x)/(tanx+x))$
Dovrei trovare il limite notevole (penso )sinx/x è tanx/x ma non riesco a isolarli
Quest'altro invece probabilmente é un limite neperiano...
$lim_(x->0)(1-tanx)^x$
Risposte
Ciao!
Il primo puoi vederlo come $lim_(x->0)((sinx)/x+1)/((tanx)/x+1)$ cosa puoi dire?
Per quanto riguarda il secondo hai qualche idea su come partire?
Il primo puoi vederlo come $lim_(x->0)((sinx)/x+1)/((tanx)/x+1)$ cosa puoi dire?
Per quanto riguarda il secondo hai qualche idea su come partire?
Sì, mezza idea ce l'ha.
Devi solo osare un pochino. Anche se non arrivi al risultato corretto, la cosa è più istruttiva che ricevere la risposta pronta.
Quindi proponi il tuo svolgimento, qualunque esso sia.
"frollo":
Quest'altro invece probabilmente é un limite neperiano...
Devi solo osare un pochino. Anche se non arrivi al risultato corretto, la cosa è più istruttiva che ricevere la risposta pronta.
Quindi proponi il tuo svolgimento, qualunque esso sia.
Il primo quindi tende a 1 giusto ?
Nel secondo ho provato a raccogliere, senza risultati. Ho pensato anche di partire dalla relazione $sin^2x+cos^2x=1$ ma nulla...
Nel secondo ho provato a raccogliere, senza risultati. Ho pensato anche di partire dalla relazione $sin^2x+cos^2x=1$ ma nulla...
il primo limite tende ad $1$, sì, ma perchè?
per il secondo, dovendo essere il dominio $D$ tale per cui $(1-tanx)>0,forallx in D$ puoi vederla come
essendo la funzione $e^y$ continua su tutto $RR$ allora quel limite coincide con il limite...?
per il secondo, dovendo essere il dominio $D$ tale per cui $(1-tanx)>0,forallx in D$ puoi vederla come
$(1-tanx)^x=e^(log(1-tanx)^x)=e^(xlog(1-tanx))$
essendo la funzione $e^y$ continua su tutto $RR$ allora quel limite coincide con il limite...?
perchè $sinx/x così come tanx/x$ tendono a 1, quindi rimane $1/1 =1$
per quel che riguarda il secondo limite non riesco a capirlo forse non ho in mente questo passaggio $ (1-tanx)^x=e^(log(1-tanx)^x)$
per quel che riguarda il secondo limite non riesco a capirlo forse non ho in mente questo passaggio $ (1-tanx)^x=e^(log(1-tanx)^x)$
per il primo è dato sostanzialmente da quei limiti ma la soluzione segue da
in quanto si possono utilizzare i teoremi sui limiti, visto che i limiti al numeratore e denominatore esistono finiti, il limite è dato dal rapporto dei limiti a numeratore e denominatore, così concludi.
per il secondo si è applicato semplicemente il fatto che se $f$ è una funzione strettamente positiva nel suo dominio allora vale l'uguaglianza
[il logaritmo è quello in base $e$.]
in quanto si è usato semplicemente il fatto che $e^(log ...)$ equivale all'applicare una funzione e la sua inversa un po come scrivere $x=sqrt(x^2)$ per $xgeq0$
nella fattispecie quando hai limiti del tipo $f(x)^(g(x))$ allora, dovendo essere $f(x)>0$, si avrà
questo, se non ti è noto, dovresti farlo tuo al più presto perchè risolve quasi tutte queste casistiche.
il motivo è dato dal fatto che la funzione $f(x)=e^x$ è continua su tutto $RR$ pertanto
$lim_(x->0)(sinx/x+1)/(tanx/x+1)=(lim_(x->0)sinx/x+1)/(lim_(x->0)tanx/x+1)=2/2=1$
in quanto si possono utilizzare i teoremi sui limiti, visto che i limiti al numeratore e denominatore esistono finiti, il limite è dato dal rapporto dei limiti a numeratore e denominatore, così concludi.
per il secondo si è applicato semplicemente il fatto che se $f$ è una funzione strettamente positiva nel suo dominio allora vale l'uguaglianza
$f(x)=e^(logf(x))$
[il logaritmo è quello in base $e$.]
in quanto si è usato semplicemente il fatto che $e^(log ...)$ equivale all'applicare una funzione e la sua inversa un po come scrivere $x=sqrt(x^2)$ per $xgeq0$
nella fattispecie quando hai limiti del tipo $f(x)^(g(x))$ allora, dovendo essere $f(x)>0$, si avrà
$f(x)^(g(x))=e^(log(f(x)^(g(x))))=e^(g(x)log(f(x))$
questo, se non ti è noto, dovresti farlo tuo al più presto perchè risolve quasi tutte queste casistiche.
il motivo è dato dal fatto che la funzione $f(x)=e^x$ è continua su tutto $RR$ pertanto
$lim_(x->x_0)f(x)^(g(x))=e^(lim_(x->x_0)g(x)log(f(x)))$
ok fin qui ci sono, però comunque non riesco a cogliere il limite notevole... mi scusi 
Ma che mi scusi, ho 25 anni, non farmeli pesare 
In sostanza ti riconduci al limite $e^(lim_(x->0)xlog(1+(-tanx)))$
Ti dice nulla la quantità $log(1+(-tanx))$?
In sostanza ti riconduci al limite $e^(lim_(x->0)xlog(1+(-tanx)))$
Ti dice nulla la quantità $log(1+(-tanx))$?
ahaha no... come limite con logaritmi conosco solo loga (1+x)/x e quello con il logaritmo naturale ...
no... come limite con logaritmi conosco solo loga (1+x)/x e quello con il logaritmo naturale ...
esatto è proprio il limite che ti interessa $log(1+x)/x ->1$
questo vale in generale se hai una quantità del tipo $log(1+f(x))/(f(x))$ con $f(x)->0$ per $x->x_0$
pertanto quel limite puoi vederlo come
dove la quantità $x(-tanx)->0$ mentre $log(1+(-tanx))/(-tanx)->1$
pertanto alla fine il limite sarà $e^(0)=1$
questo vale in generale se hai una quantità del tipo $log(1+f(x))/(f(x))$ con $f(x)->0$ per $x->x_0$
pertanto quel limite puoi vederlo come
$xlog(1+(-tanx))=x(-tanx)*log(1+(-tanx))/(-tanx)$
dove la quantità $x(-tanx)->0$ mentre $log(1+(-tanx))/(-tanx)->1$
pertanto alla fine il limite sarà $e^(0)=1$
"anto_zoolander":
per il primo è dato sostanzialmente da quei limiti ma la soluzione segue da
$lim_(x->0)(sinx/x+1)/(tanx/x+1)=(lim_(x->0)sinx/x+1)/(lim_(x->0)tanx/x+1)=2/2=1$
in quanto si possono utilizzare i teoremi sui limiti, visto che i limiti al numeratore e denominatore esistono finiti, il limite è dato dal rapporto dei limiti a numeratore e denominatore, così concludi.
Seguendo queste indicazioni ho provato a calcolare quest'altro limite:
$lim_(x->0) (2x^3+sinx-x)/(2x^3) = lim_(x->0) (x(2x^2+(sinx)/x-1))/(2x^3) =lim_(x->0) (2x^2+1-1)/(2x^2) =1$
ma il risultato dovrebbe essere $(11)/(12)$, come mai?
Ciao Rampolli e benvenuto
Perché in questo caso l'approssimazione $sin(x)/x$\(\displaystyle \sim \) $1$ non è sufficientemente precisa, dato che esiste un altro termine (quel $-1$ finale) che la azzera - nota come l'esempio di anto_zoolander che hai citato non presenta questo problema, cioè non ci sono termini che annullano quegli sviluppi. Lo svolgimento corretto è:
"Rampolli":
Seguendo queste indicazioni ho provato a calcolare quest'altro limite:
$lim_(x->0) (2x^3+sinx-x)/(2x^3) = lim_(x->0) (x(2x^2+(sinx)/x-1))/(2x^3) =lim_(x->0) (2x^2+1-1)/(2x^2) =1$
ma il risultato dovrebbe essere $(11)/(12)$, come mai?
Perché in questo caso l'approssimazione $sin(x)/x$\(\displaystyle \sim \) $1$ non è sufficientemente precisa, dato che esiste un altro termine (quel $-1$ finale) che la azzera - nota come l'esempio di anto_zoolander che hai citato non presenta questo problema, cioè non ci sono termini che annullano quegli sviluppi. Lo svolgimento corretto è:
$lim_(x->0) (2x^3+sinx-x)/(2x^3) = (x(2x^2+(sinx)/x-1))/(2x^3)$ \(\displaystyle \sim \) $(2x^2+(1-x^2/6)-1)/(2x^2)=$
$=(2x^2)/(2x^2)-(x^2/6)/(2x^2)=1-1/12=11/12$
In quel limite lo potevi fare, in questo no
Grazie per le risposte. Quindi, il procedimento quotato è un caso fortuito che porti al risultato corretto? Quale sarebbe il teorema di riferimento?
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