Limiti
Salve,
ho dei dubbi su alcuni limti:
1) $ lim_(x -> 0) (cos x - e^x)/sin x $
2) $ lim_(x -> oo) ((1+x^2)/(x+x^2))^(2x $
3) $ lim_(x -> oo) (x+2)^(2/(x+1 $
$ lim_(x -> oo)lnx/ln(x+2) $
nel n. 2 avevo pensato di scriverlo nella forma $ lim_(x -> 0) (1+1/x^2 )^(2x)/(1+1/x)^(2x $ . Cosa posso dire del numeratore?
ho dei dubbi su alcuni limti:
1) $ lim_(x -> 0) (cos x - e^x)/sin x $
2) $ lim_(x -> oo) ((1+x^2)/(x+x^2))^(2x $
3) $ lim_(x -> oo) (x+2)^(2/(x+1 $
$ lim_(x -> oo)lnx/ln(x+2) $
nel n. 2 avevo pensato di scriverlo nella forma $ lim_(x -> 0) (1+1/x^2 )^(2x)/(1+1/x)^(2x $ . Cosa posso dire del numeratore?
Risposte
per il caso A)
$lim_{x->0} {cosx-1+1-e^x}/(sinx) = lim_{x->0} {-(1-cosx)-(e^x-1)}/(sinx)$.. dividi numeratore e denominatore per $x$ e trovi dei limiti notevoli..
per gli altri casi abbozza qualche idea e condividila
$lim_{x->0} {cosx-1+1-e^x}/(sinx) = lim_{x->0} {-(1-cosx)-(e^x-1)}/(sinx)$.. dividi numeratore e denominatore per $x$ e trovi dei limiti notevoli..
per gli altri casi abbozza qualche idea e condividila
nel n. 2 avevo pensato di scriverlo nella forma $lim_(x -> 0) (1+1/x^2 )^(2x)/(1+1/x)^(2x $ . Cosa posso dire del numeratore?
nel 3. è giusto scriverlo nella forma $ lim_(x -> -1) e^(2/(x+1)ln(x+2) $ e quindi tende a $ e^2$?
nel 4. non saprei
nel 3. è giusto scriverlo nella forma $ lim_(x -> -1) e^(2/(x+1)ln(x+2) $ e quindi tende a $ e^2$?
nel 4. non saprei
2. Scusa ma non ho capito come sei arrivato a quella scrittura che proponi. Perché cambi il valore a cui tende la x?
3. Perché ora x dovrebbe tendere a - 1?
4. Usa l'hopital
3. Perché ora x dovrebbe tendere a - 1?
4. Usa l'hopital
$ (x^2(1+1/x^2)^(2x))/(x^2(1+1/x)^(2x))= (1+1/x^2)^(2x)/(1+1/x)^(2x) $
3. E senza usare De l'Hopital?
3. E senza usare De l'Hopital?
la risoluzione del punto 3 è corretta, ma il limite tende sempre a $infty$, non a $-1$
Per il punto 2 secondo me è un buon punto di partenza il tuo:
$lim_{x->infty} ({x^2(1+1/x^2)}/{x^2(1+1/x)})^{2x}=({1+1/x^2}/{1+1/x})^{2x}$, passi al quoziente dei limiti e ti studi:
${lim_{x->infty} (1+1/x^2)^{2x}} / {lim_{x->infty} (1+1/x)^{2x} }$
Il limite a denominatore è semplice.. infatti $(1+1/x)^{2x} -> ((1+1/x)^{x})^2 ->e^2$per $x->infty$
il limite a numeratore lo risolvi cosi:
$lim_{x->infty} (1+1/x^2)^{2x}= lim_{x->infty}e^{2xlog(1+1/x^2)}=..$ l'esponente lo studierei cosi:
$lim_{x->infty} 2 log(1+1/x^2)/{1/x}=$ per l'hopital $= 2lim_{x->infty}{-2/{x(x^2+1)}}/{-1/x^2}=...=0$=> limite a numeratore $=e^0=1$.. il risultato finale di conseguenza..
se non vuoi usare l'hopital, si puiò risolvere anche cosi:
$lim_{x->infty} 2 log(1+1/x^2)/{1/x}=2lim_{x->infty} {log(1+1/x^2)}/{1/x *1/x *x}=2lim_{x->infty} {log(1+1/x^2)}/{1/x^2}*1/x= 2 lim_{t->0} log(1+t)/t * lim_{x->infty} 1/x =1*0=0$
dove ho spezzato il limite nel prodotto di due limiti e nel primo ho operato la sostituzione $1/x^2 = t$
spero di non aver scritto bestialate
$lim_{x->infty} ({x^2(1+1/x^2)}/{x^2(1+1/x)})^{2x}=({1+1/x^2}/{1+1/x})^{2x}$, passi al quoziente dei limiti e ti studi:
${lim_{x->infty} (1+1/x^2)^{2x}} / {lim_{x->infty} (1+1/x)^{2x} }$
Il limite a denominatore è semplice.. infatti $(1+1/x)^{2x} -> ((1+1/x)^{x})^2 ->e^2$per $x->infty$
il limite a numeratore lo risolvi cosi:
$lim_{x->infty} (1+1/x^2)^{2x}= lim_{x->infty}e^{2xlog(1+1/x^2)}=..$ l'esponente lo studierei cosi:
$lim_{x->infty} 2 log(1+1/x^2)/{1/x}=$ per l'hopital $= 2lim_{x->infty}{-2/{x(x^2+1)}}/{-1/x^2}=...=0$=> limite a numeratore $=e^0=1$.. il risultato finale di conseguenza..
se non vuoi usare l'hopital, si puiò risolvere anche cosi:
$lim_{x->infty} 2 log(1+1/x^2)/{1/x}=2lim_{x->infty} {log(1+1/x^2)}/{1/x *1/x *x}=2lim_{x->infty} {log(1+1/x^2)}/{1/x^2}*1/x= 2 lim_{t->0} log(1+t)/t * lim_{x->infty} 1/x =1*0=0$
dove ho spezzato il limite nel prodotto di due limiti e nel primo ho operato la sostituzione $1/x^2 = t$
spero di non aver scritto bestialate
per il quarto con l'hopital è immediato:
$lim_{x->infty}{logx}/{log(x+2)}=lim_{x->infty}{1/x}/{1/{x+2}}=1$
oppure, ponendo $1/x=t$
$lim_{x->infty}{logx}/{log(x+2)}=lim_{t->0} {log(1/t)}/{log(1/t +2)}=lim_{t->0} -log(t)/log({2t+1}/t)=-lim_{t->0}log(t)/{log(2t+1)-log(t)}=$
$-lim_{t->0}1/{log(2t+1)/log(t) -1} = -lim_{t->0}1/{log(2t+1)/log((t-1)+1) -1}= -lim_{t->0}1/{{2t}/{t-1} -1}= ... =1$
poichè per $t->0$
$log(2t+1)~ 2t $ e $log((t-1)+1)~ (t-1)$ (basta ricordarsi il limite notevole)
$lim_{x->infty}{logx}/{log(x+2)}=lim_{x->infty}{1/x}/{1/{x+2}}=1$
oppure, ponendo $1/x=t$
$lim_{x->infty}{logx}/{log(x+2)}=lim_{t->0} {log(1/t)}/{log(1/t +2)}=lim_{t->0} -log(t)/log({2t+1}/t)=-lim_{t->0}log(t)/{log(2t+1)-log(t)}=$
$-lim_{t->0}1/{log(2t+1)/log(t) -1} = -lim_{t->0}1/{log(2t+1)/log((t-1)+1) -1}= -lim_{t->0}1/{{2t}/{t-1} -1}= ... =1$
poichè per $t->0$
$log(2t+1)~ 2t $ e $log((t-1)+1)~ (t-1)$ (basta ricordarsi il limite notevole)
il terzo senza l'hopital:
passa all'esponenzial ecome hi giustamente scritto e fai la sostituzione $1/x=$.. a questo punto $t->0$
da qui otterrai (non scrivo il limite per t->0 sottintendendolo)
${log(1/t+2)}/{1/t+1} -> {log((2t+1)/t)}/{(t+1)/t} -> t/{t+1} * (log(2t+1)-log(t) )-> $
$t/{t+1} * (log(2t+1)-log(t-1+1) ) ->t/{t+1}* (2t - (t-1)) ->0$
passa all'esponenzial ecome hi giustamente scritto e fai la sostituzione $1/x=$.. a questo punto $t->0$
da qui otterrai (non scrivo il limite per t->0 sottintendendolo)
${log(1/t+2)}/{1/t+1} -> {log((2t+1)/t)}/{(t+1)/t} -> t/{t+1} * (log(2t+1)-log(t) )-> $
$t/{t+1} * (log(2t+1)-log(t-1+1) ) ->t/{t+1}* (2t - (t-1)) ->0$
Per il 4 farei così:
$lim_(x->oo)(lnx)/(ln(x+2))=lim_(x->oo)(1-(ln(x+2)-lnx)/(ln(x+2)))=lim_(x->oo)(1-(ln(1+2/x))/(ln(x+2)))=1 $
notando che l'ultima frazione è del tipo $0/oo$.
$lim_(x->oo)(lnx)/(ln(x+2))=lim_(x->oo)(1-(ln(x+2)-lnx)/(ln(x+2)))=lim_(x->oo)(1-(ln(1+2/x))/(ln(x+2)))=1 $
notando che l'ultima frazione è del tipo $0/oo$.
"giammaria":
Per il 4 farei così:
$lim_(x->oo)(lnx)/(ln(x+2))=lim_(x->oo)(1-(ln(x+2)-lnx)/(ln(x+2)))=lim_(x->oo)(1-(ln(1+2/x))/(ln(x+2)))=1 $
notando che l'ultima frazione è del tipo $0/oo$.
Bella risoluzione!
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