Limiti

[Fregior]

Mi stanno dando un po' di noia i seguenti limiti:
$ lim_{x to 0^+}1/x((1+x^2)^(1/x) -1) $
Ho provato sia a porre $x^2=1/t$ per ricondurlo al limite fondamentale ma non c'è storia...
sareste così gentili da indicarmi solo la via da attuare?

(edit: il secondo l'ho risolto, comunque lo lascio se l'aveva visto qualcuno e gli interessava in modo magari da confermare se l'ho risolto correttamente)

$lim_{x to 0^+}ln((tgx)^4+1)/(e^(2(sinx)^4)-1) $
Per il principio della sostituzione degli infinitesimali sostituisco tgx e sinx con x
viene quindi
$lim_{x to 0^+}x^4ln(x^4+1)/(x^4*e^(2x^4)-1)$
che dà poi (posto $t=e^2x^4-1$)
$lim_{t to 0^+}ln(t+1)/(2t) = 1/2$

Rimangono i dubbi sul primo....
Grazie in anticipo!

[@melia]

Mi viene 1 e con il beneficio del dubbio perché ci sono veramente molti calcoli, se conosci il teorema di De L'Hopital ti spiego come ho fatto, senza non ne vengo fuori.

[Fregior]

Sì, lo conosco. Dovevamo fare senza ma è talmente tanto astruso che forse è meglio lasciar stare.

Grazie mille in anticipo

Edit:
Anche questo:
$ lim_{x to +infty}(e^x*sin(e^-x sinx))/(x) $
Senza de l'Hopital come potrei fare?

Grazie!

[giammaria2]

$=lim_(x->+oo)(sin(e^(-x)sinx))/(xe^(-x))=lim_(x->+oo)(sin(e^(-x)sinx))/(e^(-x)sinx)*(e^(-x)sinx)/(xe^(-x))=1$

[Obidream]

Forse per il primo si potrebbe fare così:

$lim_(x->0^+)1/x((1+x^2)^(1/x) -1)$

$lim_(x->0^+) 1/x((1+x^2)^((1/(x^2))*x)-1)$

$lim_(x->0^+) ((1+x^2)^((1/(x^2))*x)-1)/x$

Adesso il $lim_(x->0^+) (1+x^2)^(1/x^2)=e$ quindi per il limite notevole $lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ tutto il limite tende ad $1$

[Fregior]

"giammaria":$=lim_(x->+oo)(sin(e^(-x)sinx))/(xe^(-x))=lim_(x->+oo)(sin(e^(-x)sinx))/(e^(-x)sinx)*(e^(-x)sinx)/(xe^(-x))=1$

Grazie! Solo che non ho capito quella moltiplicazione al secondo passaggio,
io ho semplicemente posto $t=e^-xsinx$ e mi viene $lim_(t->0)sint/t=1$
tu con quella moltiplicazione cosa hai ottenuto poi?

@Obidream Grazie mille!

A presto!

[giammaria2]

In sostanza ho fatto la tua stessa sostituzione: ho scritto una prima frazione in cui ho fatto in modo da avere quello che tu hai chiamato $(sint)/t$ e l'ho moltiplicata per una seconda frazione che rendesse i due membri uguali fra loro (semplificando il denominatore della prima col numeratore della seconda otterresti la frazione iniziale).