Limite $x^x$
Senza usare De L'Hopital come risolvereste il seguente limite?:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x\)
Il risultato dovrebbe essere 1.
Mi aiutate poi a risolvere il seguente limite che si presenta sotto forma indeterminata $\infty-\infty$:
\(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \left[\frac{6x-13}{x-3}+\ln(x-3)\right] \)
Il risultato dovrebbe essere $+\infty$.
Grazie per le risposte in anticipo
.
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x\)
Il risultato dovrebbe essere 1.
Mi aiutate poi a risolvere il seguente limite che si presenta sotto forma indeterminata $\infty-\infty$:
\(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \left[\frac{6x-13}{x-3}+\ln(x-3)\right] \)
Il risultato dovrebbe essere $+\infty$.
Grazie per le risposte in anticipo
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Risposte
Ciao 
L'ora è tarda, quindi spero di non scrivere cavolate
Per il primo limite: passa tutto alla forma esponenziale e poi applica la gerarchia degli infiniti($xlog(x) ->0$, $x->0^+$).
Edit: beh, utilizzando il confronto tra infiniti, effettivamente utilizzi in modo implicito De L'Hopital, tuttavia protrebbe esserci un altro modo di dimostrare che $lim_(x->0^+) xlog(x) = 0$... devo pensarci.
Per il secondo: Sia $t = 1/(x-3)$, il limite diventa: $lim_(x->0^+) (6(x - 2) -1)*1/(x-3) + ln(x-3) = lim_(t->+oo) 6t(1/t + 1) - t - ln(t) = ...$, anche qui devi applicare la gerarchia degli infiniti($log(t)/t$).
Tutto chiaro?
Buonanotte
L'ora è tarda, quindi spero di non scrivere cavolate
Per il primo limite: passa tutto alla forma esponenziale e poi applica la gerarchia degli infiniti($xlog(x) ->0$, $x->0^+$).
Edit: beh, utilizzando il confronto tra infiniti, effettivamente utilizzi in modo implicito De L'Hopital, tuttavia protrebbe esserci un altro modo di dimostrare che $lim_(x->0^+) xlog(x) = 0$... devo pensarci.
Per il secondo: Sia $t = 1/(x-3)$, il limite diventa: $lim_(x->0^+) (6(x - 2) -1)*1/(x-3) + ln(x-3) = lim_(t->+oo) 6t(1/t + 1) - t - ln(t) = ...$, anche qui devi applicare la gerarchia degli infiniti($log(t)/t$).
Tutto chiaro?
Buonanotte
Ciao e grazie per la risposta
In effetti ho letto in giro che quel limite viene risolto proprio con il confronto tra infiniti o il teorema di De L'Hopital, praticamente poi il limite
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x\ln x=0 \)
E' una conseguenza del primo.
Il problema è che l'esercizio l'ho preso da un libro: questo esercizio si trova nella parte di esercizi relativa ai limiti notevoli e non alle forme indeterminate, tanto meno nella parte di esercizi relativa al confronto di infinitesimi. Per questo mi sorge il dubbio che il libro abbia sbagliato sezione, perché altrimenti richiederebbe la soluzione senza utilizzare confronto di infinitesimi, al massimo invece si dovrebbero utilizzare i limiti notevoli.
Non esiste un metodo con i limiti notevoli senza utilizzare limiti che richiedono di confronti tra infiniti?
Grazie ancora
"Shocker":
Ciao
L'ora è tarda, quindi spero di non scrivere cavolate
Per il primo limite: passa tutto alla forma esponenziale e poi applica la gerarchia degli infiniti($ xlog(x) ->0 $, $ x->0^+ $).
Edit: beh, utilizzando il confronto tra infiniti, effettivamente utilizzi in modo implicito De L'Hopital, tuttavia protrebbe esserci un altro modo di dimostrare che $ lim_(x->0^+) xlog(x) = 0 $... devo pensarci.
...
In effetti ho letto in giro che quel limite viene risolto proprio con il confronto tra infiniti o il teorema di De L'Hopital, praticamente poi il limite
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x\ln x=0 \)
E' una conseguenza del primo.
"Shocker":
...
Per il secondo: Sia $ t = 1/(x-3) $, il limite diventa: $ lim_(x->0^+) (6(x - 2) -1)*1/(x-3) + ln(x-3) = lim_(t->+oo) 6t(1/t + 1) - t - ln(t) = ... $, anche qui devi applicare la gerarchia degli infiniti($ log(t)/t $).
Tutto chiaro?
Buonanotte
Il problema è che l'esercizio l'ho preso da un libro: questo esercizio si trova nella parte di esercizi relativa ai limiti notevoli e non alle forme indeterminate, tanto meno nella parte di esercizi relativa al confronto di infinitesimi. Per questo mi sorge il dubbio che il libro abbia sbagliato sezione, perché altrimenti richiederebbe la soluzione senza utilizzare confronto di infinitesimi, al massimo invece si dovrebbero utilizzare i limiti notevoli.
Non esiste un metodo con i limiti notevoli senza utilizzare limiti che richiedono di confronti tra infiniti?
Grazie ancora
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