Limite$ xsen(1/(2x+1))$
Buongiorno stavo facendo questo limite:
$lim_(x->+oo)xsen(1/(2x+1))$
l'ho fatto cosi:
$x/(1/sen(1/(2x+1)))$
e viene $+oo/+oo$
uso de l'hopital
$1/(1/(cos(1/(2x+1))(2x+1)^(-2)(-1)(2)))$
ma di sicuro ho fatto un pastrocchio con la derivata...cioè la derivata di $(2x+1)^(-1)$ è $(-1)(2x+1)^(-2)(2)$ ma li non mi viene lo stesso il limite, nell argomento mi viene:$cos((-2)/(2x+1)^3))$ asintotico a $cos((-2)/(2x))$ giusto almeno fin qui?Solo che poi il risultato non mi viene perchè deve risultare $1/2$.
Però stavo pensando prorpio adesso mentre vi scrivo che $cos((-2)/(2oo))$ risulta $cos(0^(-))$ quindi $cos(0^(-))=1$giusto?
$lim_(x->+oo)xsen(1/(2x+1))$
l'ho fatto cosi:
$x/(1/sen(1/(2x+1)))$
e viene $+oo/+oo$
uso de l'hopital
$1/(1/(cos(1/(2x+1))(2x+1)^(-2)(-1)(2)))$
ma di sicuro ho fatto un pastrocchio con la derivata...cioè la derivata di $(2x+1)^(-1)$ è $(-1)(2x+1)^(-2)(2)$ ma li non mi viene lo stesso il limite, nell argomento mi viene:$cos((-2)/(2x+1)^3))$ asintotico a $cos((-2)/(2x))$ giusto almeno fin qui?Solo che poi il risultato non mi viene perchè deve risultare $1/2$.
Però stavo pensando prorpio adesso mentre vi scrivo che $cos((-2)/(2oo))$ risulta $cos(0^(-))$ quindi $cos(0^(-))=1$giusto?
Risposte
Ciao,
basta riscrivere la funzione come
\[
\frac{\sin\frac{1}{2x+1}}{\frac{1}{2x+1}}\frac{x}{2x+1}
\] Ora la prima parte tende a $1$ per un limite che puoi derivare facilmente da quello notevole \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\] mentre il secondo fattore tende a $1/2$. Risultato: $1*1/2 = 1/2$.
basta riscrivere la funzione come
\[
\frac{\sin\frac{1}{2x+1}}{\frac{1}{2x+1}}\frac{x}{2x+1}
\] Ora la prima parte tende a $1$ per un limite che puoi derivare facilmente da quello notevole \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\] mentre il secondo fattore tende a $1/2$. Risultato: $1*1/2 = 1/2$.
ok grz, volevo dire, ne ho fatto un altro volevo sapere se fosse giusto, se puoi darli un occhio.....$lim_(x->1)((x-1)/(log(2x^2-x))$ viene una forma di indecisione e posso usare de l'hopital perchè 0/0.
$1/((4x-1)/(2x^2-x))$=$(2x^2-x)/(4x-1)$ viene $1/3$
$1/((4x-1)/(2x^2-x))$=$(2x^2-x)/(4x-1)$ viene $1/3$
Sì è giusto.
sara stata fortuna ne ho fatto un altro intanto...anche qui cè un passaggio in cui trasformo l'arcotangente in tangente ma non sono sicuro che sia giusto, d'altra parte pero non vedo via di uscita
$lim_(x->-oo)(3-2x)(pi/2-arctan(2x))$
$lim_(x->-oo)(3-2x)(pi/2-(sen(-pi/2))/(cos(-pi/2)))$
$lim_(x->-oo)(3-2x)((pi/2(cos(-pi/2))-(sen(-pi/2))/cos(-pi/2))$
verrebbe $+oo(-oo)=-oo$
$lim_(x->-oo)(3-2x)(pi/2-arctan(2x))$
$lim_(x->-oo)(3-2x)(pi/2-(sen(-pi/2))/(cos(-pi/2)))$
$lim_(x->-oo)(3-2x)((pi/2(cos(-pi/2))-(sen(-pi/2))/cos(-pi/2))$
verrebbe $+oo(-oo)=-oo$
No aspetta! Che senso ha trasformare l'arcotangente di $2x$ nel rapporto $(sin(-pi/2))/(cos(-pi/2))$? Quella se mai sarebbe la tangente di $-pi/2$ (che non esiste).
poi scusa ti volevo chiedere se io ho $lim_(x->-oo)x/(1/(sen(pi/2)))$ avrei una forma di indecisione $-oo/-oo$ma non è possibile stabilire il 'piu veloce' con l'ordine degli infinito in questo caso che cè una funzione trigonometrica di mezzo?
ah scusa avevi risposto non ti avevo visto...allora l'arcotangente, a sto punto quando cè l'arcotangente non so come si fa a trasformare, io avevo letto però che se $arctanx=b$ abbiamo $tanb=x$ è per questo che l'avevo trasformata...a ogni modo non saprei che si puo fare quando cè larcotangente
Dunque... un esercizio alla volta! Per quanto riguarda quello di prima, attenzione: non è una forma indeterminata!
Infatti $3-2x$ tende ovviamente a $+oo$, mentre per quanto riguarda l'altro fattore abbiamo che quando $x->-oo$ l'arcotangente di $2x$ tende a $-pi/2$. Quindi passando al limite si ottiene
\[
+\infty\cdot\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right) \to +\infty
\] E il risultato è quindi $+oo$.
Ci siamo su questo?
Infatti $3-2x$ tende ovviamente a $+oo$, mentre per quanto riguarda l'altro fattore abbiamo che quando $x->-oo$ l'arcotangente di $2x$ tende a $-pi/2$. Quindi passando al limite si ottiene
\[
+\infty\cdot\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right) \to +\infty
\] E il risultato è quindi $+oo$.
Ci siamo su questo?
"ramarro":
poi scusa ti volevo chiedere se io ho $lim_(x->-oo)x/(1/(sen(pi/2)))$ avrei una forma di indecisione $-oo/-oo$
No, $sin (pi/2)$ è una costante e vale sempre e comunque $1$. Forse intendevi $sin (x/2)$ o qualcos'altro?
cavolo si è cancellata la risposta che ti ho mandato....
allora
1)quello con l'arcotangente guarda che era con il segno 'meno' se guardi il testo tu l'hai scritta con il segno 'piu' verrebbe $+oo(0)$
2)hai ragione fai finta allora di avere $lim_(x->-oo)x/(1/(sen(pi))$
3)ma a te piace proprio la matematica eh:)....ci sentiamo o dopo o qualche altro giorno, è ora della pappa...ciao!
allora
1)quello con l'arcotangente guarda che era con il segno 'meno' se guardi il testo tu l'hai scritta con il segno 'piu' verrebbe $+oo(0)$
2)hai ragione fai finta allora di avere $lim_(x->-oo)x/(1/(sen(pi))$
3)ma a te piace proprio la matematica eh:)....ci sentiamo o dopo o qualche altro giorno, è ora della pappa...ciao!
"ramarro":
1)quello con l'arcotangente guarda che era con il segno 'meno' se guardi il testo tu l'hai scritta con il segno 'piu' verrebbe $+oo(0)$
No, ti ripeto quello che ho scritto prima. Tu hai
\[
\lim_{x\to-\infty}\left(3-2x\right)\left(\frac{\pi}{2}-\arctan(2x)\right)
\] La prima parentesi tende a $-(-oo)$, cioè $+oo$. Per quanto riguarda la seconda, $arctan(2x)$ tende a $-pi/2$, quindi l'intera parentesi tende a $pi/2-(-pi/2) = pi/2+pi/2 = pi$.
In definitiva tutto il limite tende a $+oo*pi$, cioè a $+oo$ e non c'è alcuna forma indeterminata.
ah si ora ho capito, praticamente è un po come se le funzioni trigonometriche e anche la funzione logaritmo stessero in parentesi 'immaginarie'....cioè $1-cospi=1-(-1)=2$..stesso ragionamento per il logaritmo...
invece come dicevo prima nella domanda 2)non si puo stabilire il 'piu veloce' con l'ordine degli infiniti se $lim_(x->-oo)$?
invece come dicevo prima nella domanda 2)non si puo stabilire il 'piu veloce' con l'ordine degli infiniti se $lim_(x->-oo)$?
Per quanto riguarda la tua domanda di prima, tu hai scritto
\[
\lim_{x\to -\infty} \frac{x}{\frac{1}{\sin \pi}}
\] che non ha significato perché il denominatore della frazione di sotto è zero, e questo non è ovviamente possibile. Provo invece a interpretare leggermente: immaginiamo di avere
\[
\lim_{x\to -\infty}x\sin\pi
\] In questo caso succede una cosa un po' particolare, che ha a che fare con il concetto di limite. $sin pi$ è $0$, nel senso che è esattamente $0$. Attenzione: non tende a $0$, è proprio $0$. Questo è di importanza fondamentale, perché non dà luogo ad una forma indeterminata del tipo $0*oo$. Il risultato di quel limite è proprio $0$ perché qualunque cosa moltiplicata esattamente per $0$ fa $0$.
Invece sarebbe una forma indeterminata nel caso ci sia qualcosa che tende a $0$ senza però essere mai veramente $0$.
Infine, per quanto riguarda la valutazione delle funzioni trigonometriche all'infinito, probabilmente saprai che \[\lim_{x\to\infty}\sin x\] non è definito perché la funzione seno oscilla indefinitivamente tra $-1$ e $1$. Però puoi sempre considerare che assume un insieme di valori limitati. Quindi ad esempio
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x} = 0
\]
\[
\lim_{x\to -\infty} \frac{x}{\frac{1}{\sin \pi}}
\] che non ha significato perché il denominatore della frazione di sotto è zero, e questo non è ovviamente possibile. Provo invece a interpretare leggermente: immaginiamo di avere
\[
\lim_{x\to -\infty}x\sin\pi
\] In questo caso succede una cosa un po' particolare, che ha a che fare con il concetto di limite. $sin pi$ è $0$, nel senso che è esattamente $0$. Attenzione: non tende a $0$, è proprio $0$. Questo è di importanza fondamentale, perché non dà luogo ad una forma indeterminata del tipo $0*oo$. Il risultato di quel limite è proprio $0$ perché qualunque cosa moltiplicata esattamente per $0$ fa $0$.
Invece sarebbe una forma indeterminata nel caso ci sia qualcosa che tende a $0$ senza però essere mai veramente $0$.
Infine, per quanto riguarda la valutazione delle funzioni trigonometriche all'infinito, probabilmente saprai che \[\lim_{x\to\infty}\sin x\] non è definito perché la funzione seno oscilla indefinitivamente tra $-1$ e $1$. Però puoi sempre considerare che assume un insieme di valori limitati. Quindi ad esempio
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x} = 0
\]
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