Limite strano
$lim_x_->_-oo[(x+1)e^(x/(x-1))-ex]$
se porto la funzione alla forma $[xe(e^(x/(x-1))-1)+e^(x/(x-1))] $ come si calcola?
se porto la funzione alla forma $[xe(e^(x/(x-1))-1)+e^(x/(x-1))] $ come si calcola?
Risposte
"caseyn27":
$lim_x_->_-oo[(x+1)e^(x/(x-1))-ex]$
se porto la funzione alla forma $[xe(e^(x/(x-1))-1)+e^(x/(x-1))] $ come si calcola?
Come arrivi a quella forma?
"caseyn27":
se porto la funzione alla forma $[xe(e^(x/(x-1))-1)+e^(x/(x-1))] $ come si calcola?
Attento, hai fatto un errore. Di seguito alcuni passaggi:
$lim_(x->-oo)[(x+1)e^(x/(x-1))-ex]=lim_(x->-oo)[x*e^(x/(x-1))+e^(x/(x-1))-ex]=lim_(x->-oo)[x(e^(x/(x-1))-e)+e^(x/(x-1))-e+e]=lim_(x->-oo)[(e^(x/(x-1))-e)(x+1)+e]$; dopodiché, per poter applicare il teorema di de l'Hôpital, lo si consideri così: $lim_(x->-oo)[((e^(x/(x-1))-e)+(e/(x+1)))/(1/(x+1))]$. A questo punto la risoluzione dovrebbe risultare banale.
EDIT: mi era sfuggito un segno
non ho capito l'ultimo passaggio
Io farei così:
$lim_(x->-oo)(x*(e^(x/(x+1)) -e)+e^(x/(x+1)))
osserviamo che per $x->-oo$, $e^(x/(x+1))->e$ quindi possiamo trattarlo come una costante:
$=e+lim_(x->-oo)ex(e^(x/(x+1)-1)-1)=e+lim_(x->-oo)ex(e^(-1/(x+1))-1)
poniamo $t=1/x$ segue che $x=1/t$ e per $x->-oo,t->0^-$ e riscriviamo il limite
$=e+lim_(t->0^-)e((e^(-1/(1/t+1))-1))/t
$=e+lim_(t->0^-)e((e^(-t/(t+1))-1))/t
Ora possiamo procedere in due modi, che poi alla fine sono equivalenti:
1. moltiplichiamo e dividiamo per $-t/(t+1)$
$=e+lim_(t->0^-)e*((e^(-t/(t+1))-1))/(t*(-t/(t+1)))*(-t/(t+1))
$=e+lim_(t->0^-)e*((e^(-t/(t+1))-1))/(-t/(t+1))*(-t/(t+1))/t
per il limite notevole: $lim_(theta->0)(e^theta-1)/theta=1$ risulta
$lim_(t->0^-)((e^(-t/(t+1))-1))/(-t/(t+1))=1$ e $lim_(t->0^-)(-t/(t+1))/t=-1
e quindi
$=e-e=0
2. $e^(-t/(t+1))-1$ è un infinitesimo per $t->0$ equivalente a $-t/(t+1)$ quindi per il principio di sostituzione possiamo riscrivere il limite, etc.
O altrimenti applichi de L'Hopital alla seconda riga sempre tenendo conto della considerazione successiva, ma come puoi intuire (dal procedimento contorto) le derivate non mi fanno impazzire:
$e+lim_(x->-oo)(e^(x/(x+1))-e)/(x^(-1))
$lim_(x->-oo)(x*(e^(x/(x+1)) -e)+e^(x/(x+1)))
osserviamo che per $x->-oo$, $e^(x/(x+1))->e$ quindi possiamo trattarlo come una costante:
$=e+lim_(x->-oo)ex(e^(x/(x+1)-1)-1)=e+lim_(x->-oo)ex(e^(-1/(x+1))-1)
poniamo $t=1/x$ segue che $x=1/t$ e per $x->-oo,t->0^-$ e riscriviamo il limite
$=e+lim_(t->0^-)e((e^(-1/(1/t+1))-1))/t
$=e+lim_(t->0^-)e((e^(-t/(t+1))-1))/t
Ora possiamo procedere in due modi, che poi alla fine sono equivalenti:
1. moltiplichiamo e dividiamo per $-t/(t+1)$
$=e+lim_(t->0^-)e*((e^(-t/(t+1))-1))/(t*(-t/(t+1)))*(-t/(t+1))
$=e+lim_(t->0^-)e*((e^(-t/(t+1))-1))/(-t/(t+1))*(-t/(t+1))/t
per il limite notevole: $lim_(theta->0)(e^theta-1)/theta=1$ risulta
$lim_(t->0^-)((e^(-t/(t+1))-1))/(-t/(t+1))=1$ e $lim_(t->0^-)(-t/(t+1))/t=-1
e quindi
$=e-e=0
2. $e^(-t/(t+1))-1$ è un infinitesimo per $t->0$ equivalente a $-t/(t+1)$ quindi per il principio di sostituzione possiamo riscrivere il limite, etc.
O altrimenti applichi de L'Hopital alla seconda riga sempre tenendo conto della considerazione successiva, ma come puoi intuire (dal procedimento contorto) le derivate non mi fanno impazzire:
$e+lim_(x->-oo)(e^(x/(x+1))-e)/(x^(-1))
"caseyn27":
non ho capito l'ultimo passaggio
Limito la seguente scrittura al disvelamento dei soli passaggi: $[(e^(x/(x-1))-e)(x+1)+e]=[(e^(x/(x-1))-e)/(1/(x+1))+(e*(1/(x+1)))/(1/(x+1))]=[(e^(x/(x-1))-e+e/(x+1))/(1/(x+1))]$. Il limite per $x->-oo$ di quest'ultima restituisce una forma indeterminata del tipo $0/0$, pertanto è possibile applicare la regola di de l'Hôpital.
mi autocensuro per la boiata scritta...
chiedo perdono...scusate...xD
chiedo perdono...scusate...xD
A parte il fatto che $lim_(x->-oo)(ex+e-ex)=lim_(x->-oo)e=e!=0$. Inoltre secondo i miei calcoli, confermati da Wolfram Alpha, il $lim_(x->-oo)f(x)=2e$ (con $f(x)$ ovviamente $=(x+1)*e^(x/(x-1))-ex$).
"Delirium":
A parte il fatto che $lim_(x->-oo)(ex+e-ex)=lim_(x->-oo)e=e!=0$. Inoltre secondo i miei calcoli, confermati da Wolfram Alpha, il $lim_(x->-oo)f(x)=2e$ (con $f(x)$ ovviamente $=(x+1)*e^(x/(x-1))-ex$).
ops...scusa hai ragionissima... correggo subito
EDIT: anzi lo elimino che è meglio!!!
Nessun problema fhabbio!
Io non ci ho capito niente 
però fa lo stesso.
però fa lo stesso.
"friction":
Io non ci ho capito niente
Ti riferisci alla mia soluzione?
No, al vostro discorso in verità. La soluzione è chiara.
Probabilmente la comprensione della discussione ti è impedita dalla discontinuità logica degli interventi: i due di fhabbio sono stati infatti modificati, dopo che gli ho fatto notare che nella sua soluzione c'era un errore.
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