Limite "rompicapo"
Senza ricorrere a Hopital e a Taylor si può risolvere?
Sono 3 giorni che ...spreco carta e inchiostro, ma mi torna sempre la forma ind 0/0!
Il limite è il seguente : $lim_(x->0)((1+senx+sen^2x)^(1/x)-(1+senx)^(1/x))/x$
I miei tentativi si ...limitano a sfruttare lo sviluppo del lim di $f(x)^g(x)$ per poi cercare di pervenire a forme notevoli che cmq non mi tolgono l'indeterminazione poiché arrivo sempre a 0/0!
Inutile aggiungere che sostituzioni di variabili e/o trasformazioni trigonometriche non hanno prodotto alcun risultato ma questo è sicuramente un mio ...limite!
Ringrazio in anticipo per il Vs. tempo.
Sono 3 giorni che ...spreco carta e inchiostro, ma mi torna sempre la forma ind 0/0!
Il limite è il seguente : $lim_(x->0)((1+senx+sen^2x)^(1/x)-(1+senx)^(1/x))/x$
I miei tentativi si ...limitano a sfruttare lo sviluppo del lim di $f(x)^g(x)$ per poi cercare di pervenire a forme notevoli che cmq non mi tolgono l'indeterminazione poiché arrivo sempre a 0/0!
Inutile aggiungere che sostituzioni di variabili e/o trasformazioni trigonometriche non hanno prodotto alcun risultato ma questo è sicuramente un mio ...limite!
Ringrazio in anticipo per il Vs. tempo.
Risposte
Ciao
premetto che non ho la certezza che il suggerimenti che ti sto per dare ti porti da qualche parte...
per semplificare la scrittura scrivo il tuo limite come [tex]\lim_{x\rightarrow0} \frac{f(x)^{\frac{1}{x}}+g(x)^{\frac{1}{x}}}{x}[/tex]
prima di tutto lo vedrei come
[tex]\frac{\lim_{x\rightarrow0}f(x)^{\frac{1}{x}}+\lim_{x\rightarrow0}g(x)^{\frac{1}{x}}}{\lim_{x\rightarrow0}x}[/tex]
ora prendiamo solo
[tex]\lim_{x\rightarrow0}f(x)^{\frac{1}{x}}[/tex]
e vediamolo come [tex]e^{\ln \left(\lim_{x\rightarrow0}f(x)^{\frac{1}{x}}\right)} = e^{ \lim_{x\rightarrow0} \left( \ln f(x)^{\frac{1}{x}}\right)} = e^{ \lim_{x\rightarrow0} \left(\frac{\ln f(x)}{x} \right)}[/tex]
spero che ti aiuti
Ciao
premetto che non ho la certezza che il suggerimenti che ti sto per dare ti porti da qualche parte...
per semplificare la scrittura scrivo il tuo limite come [tex]\lim_{x\rightarrow0} \frac{f(x)^{\frac{1}{x}}+g(x)^{\frac{1}{x}}}{x}[/tex]
prima di tutto lo vedrei come
[tex]\frac{\lim_{x\rightarrow0}f(x)^{\frac{1}{x}}+\lim_{x\rightarrow0}g(x)^{\frac{1}{x}}}{\lim_{x\rightarrow0}x}[/tex]
ora prendiamo solo
[tex]\lim_{x\rightarrow0}f(x)^{\frac{1}{x}}[/tex]
e vediamolo come [tex]e^{\ln \left(\lim_{x\rightarrow0}f(x)^{\frac{1}{x}}\right)} = e^{ \lim_{x\rightarrow0} \left( \ln f(x)^{\frac{1}{x}}\right)} = e^{ \lim_{x\rightarrow0} \left(\frac{\ln f(x)}{x} \right)}[/tex]
spero che ti aiuti
Ciao
Torno solo ora dal lavoro.
Ti ringrazio per il suggerimento ma è uno dei procedimenti che avevo già considerato e, come puoi vedere tu stesso, mi porta a $e-e$ e quindi, poiché il denominatore è anch'esso 0, mi ri-porta ad una forma indeterminata.
Domattina....sprecherò qualche altra...risma!Grazie ancora.
Ti ringrazio per il suggerimento ma è uno dei procedimenti che avevo già considerato e, come puoi vedere tu stesso, mi porta a $e-e$ e quindi, poiché il denominatore è anch'esso 0, mi ri-porta ad una forma indeterminata.
Domattina....sprecherò qualche altra...risma!Grazie ancora.
Ciao!
Poveri alberi,allora:
vediamo di salvarne uno?
Prova ad osservare come,per una proprietà della forma indeterminata $[1^oo]$ che credo ti sia nota,
$lim_(xto0)((1+senx+sen^2x)^(1/x)-(1+senx)^(1/x))/x=lim_(xto0)(e^([(1+senx+sen^2x)-1]1/x)-e^([(1+senx)-1]1/x))/x=$
$=cdots=lim_(xto0)(e^((senx)/x)(e^((sen^2x)/x)-1))/x=lim_(xto0)e^((senx)/x)(e^((sen^2x)/x)-1)/((sen^2x)/x)(sen^2x)/(x^2)=cdots$:
dovrebbe aiutarti..
Saluti dal web.
"fedran":
...Domattina....sprecherò qualche altra...risma!Grazie ancora.
Poveri alberi,allora:
vediamo di salvarne uno?
Prova ad osservare come,per una proprietà della forma indeterminata $[1^oo]$ che credo ti sia nota,
$lim_(xto0)((1+senx+sen^2x)^(1/x)-(1+senx)^(1/x))/x=lim_(xto0)(e^([(1+senx+sen^2x)-1]1/x)-e^([(1+senx)-1]1/x))/x=$
$=cdots=lim_(xto0)(e^((senx)/x)(e^((sen^2x)/x)-1))/x=lim_(xto0)e^((senx)/x)(e^((sen^2x)/x)-1)/((sen^2x)/x)(sen^2x)/(x^2)=cdots$:
dovrebbe aiutarti..
Saluti dal web.
: gli alberi...ringraziano!E io mi... accodo ben volentieri!
Ho visto dove mi "ingrippavo".
Grazie ancora!
P.S. Io un altro limite che mi sta facendo dannare ce l'avrei.....
anche avevo provato a risolverla così ma poi avevo pensato che
$ lim_(x -> 0) f(x)^g(x) = e^(lim_(x -> 0) (f(x) -1)g(x)) $
e calcolavo subito il limite, rimanendo così l'indeterminazione. Quindi quando si ha la forma $ 1^oo $ è lecito scrivere
$ f(x)^g(x) = e^((f(x)-1)g(x)) $
molto bene. Buono a sapersi
$ lim_(x -> 0) f(x)^g(x) = e^(lim_(x -> 0) (f(x) -1)g(x)) $
e calcolavo subito il limite, rimanendo così l'indeterminazione. Quindi quando si ha la forma $ 1^oo $ è lecito scrivere
$ f(x)^g(x) = e^((f(x)-1)g(x)) $
molto bene. Buono a sapersi
"Ziben":
..Quindi quando si ha la forma $ 1^oo $ è lecito scrivere
$ f(x)^g(x) = e^((f(x)-1)g(x)) $
molto bene. Buono a sapersi
Ciao!
Detta così è un po troppo "brutale":
se invece hai "solo" omesso il segno di limite,diciamo si..
Sottointendo,in quest'ultimo periodo,che quell'uguaglianza al limite potrai sfruttarla come "ipotesi di lavoro";
se infatti,
dopo aver fatto quella sostituzione a priori un pò forzata ed aver ridotto a notevoli o "elementari" tutti i limiti in cui in seguito "spezzettarai" legittimamente quello iniziale,
succedesse d'aver a che fare con enti tutti convergenti rileggendo le uguaglianze al limite da dx a sx,
allora sarà lecita a posteriori quell'imposizione
(questo lo si può dimostrare formalmente,e nel caso se ne parlerà più avanti nei tuoi studi,
partendo proprio da quell'uguaglianza al limite che hai scritto in modo parziale,
la quale può a sua volta esser verificata tramite mezzi a te noti..):
se spunta invece,risalendo le uguaglianze al limite da dx ad sx,qualcosa di divergente,
allora direi ad occhio e croce che potrebbe invece essere pericolosa o inutile
(su due piedi mi pare che mettendo $(1-cosx-sen^2x)^(1/(x^3))$ a posto del primo esponenziale dovresti capire perchè,
ma prendilo con le pinze e nel caso ne riparliamo dopo averci ragionato con più calma..)!
"fedran":
:D : gli alberi...ringraziano!
E io mi... accodo ben volentieri!
Ho visto dove mi "ingrippavo".
Grazie ancora!
P.S. Io un altro limite che mi sta facendo dannare ce l'avrei.....
Chiamo la forestale??
Dannati ancora un pò,e nel caso postalo con dubbi e considerazioni associati:
qualcuno che ritenga valga la pena darti una mano potresti trovarlo..
Saluti dal web.
Grazie Theras, sì infatti ho omesso il segno di limite ma intendevo all'interno di una operazione di limite. La mia titubanza nell'utilizzare il procedimento da te illustrato stava nel fatto che pensavo di dover comunque calcolare i limiti per gli esponenziali separatamente, senza ottenere vantaggio, mentre da quello che hai postato ho capito che si può sfruttare come uguaglianza purchè alla fine le parti siano convergenti.
Nel libro in cui l'ho trovata infatti mi dice che si può dimostrare formalmente ma non lo fa, sai per caso dove posso trovare una dimostrazione?
Per Fedran: concordo, se proprio non ci riesci posta pure un secondo rompicapo.
Ciao.
Nel libro in cui l'ho trovata infatti mi dice che si può dimostrare formalmente ma non lo fa, sai per caso dove posso trovare una dimostrazione?
Per Fedran: concordo, se proprio non ci riesci posta pure un secondo rompicapo.
Ciao.
Ciao!
Se intendi la verfica formale di quel che t'ho scritto perdonami,ma ti specifico meglio solo l'idea con la quale procedere
(un pò per carenza di tempo ed un pò perchè ti dovrebbe far bene bene sbatterci e ragionarci un pò):
se inizi dalla fine della catena d'uguaglianze al limite che ho parzialmente postato,
proprio grazie alle convergenze di tutte le funzioni in gioco potrai risalire legittimamente al fatto che il limite l finale è pure quello iniziale..
In questo risalire sfrutterai,della teoria,solo la seguente proposizione,
spesso utile nella pratica e che mi pare già d'aver messo evidenzato in passato in questo forum:
$EElim_(x->x_0)f(x)=1,EElim_(x->x_0)|g(x)|=+oo,EElim_(x->x_0)[f(x)-1]g(x)rArrEElim_(x->x_0)[f(x)]^(g(x))=lim_(x->x_0)e^([f(x)-1]g(x))$
(stà attento che,per evitare notazioni per te potenzialmente "strane",
ti dico solo ora che $x_0$ può anche coincidere con uno dei tre simboli contenenti $oo$ come pure il risultato del terzo limite di cui s'ammette l'esistenza nell'ipotesi).
Se invece ti riferivi alla verifica proprio di questo teoremino,
è più fattibile di quanto forse credi;
non sapendo neanche in tal senso quali siano le tue conoscenze sugli ordini d'infinito e/o infinitesimo,
ti dico semplicemente che la sua tesi salta subito fuori dal fatto che,se x varia in un opportuno intorni di $x_0$,
potrai scrivere
$[f(x)]^(g(x))={[1+1/(1/(f(x)-1))]^(1/(f(x)-1))}^(text{[}f(x)-1text{]}g(x))$:
praticamente è come se il comune principio ispiratore delle operazioni operazioni che faresti per calcolare,ad ex,
$lim_(xto0)(cosx)^(1/(x^2))$ oppure $lim_(x->oo)((x^2+1)/(x^2-1))^(logx)$ ,
sia stato evidenziato ed applicato una volta per tutte
(ed infatti non a caso quell'uguaglianza al limite è comunemente considerata nella cosidetta Algebra dei limiti,
denominata tale proprio perchè,con spirito tipico dell'Algebra di base,
sottolinea deduzioni generali sui comportamenti al limite d'intere classi di funzioni soddisfacenti certi requisiti..)!
Spero d'esserti stato utile,
ma ora devo lasciarti alle buone domande che ti poni:
saluti dal web.
Se intendi la verfica formale di quel che t'ho scritto perdonami,ma ti specifico meglio solo l'idea con la quale procedere
(un pò per carenza di tempo ed un pò perchè ti dovrebbe far bene bene sbatterci e ragionarci un pò):
se inizi dalla fine della catena d'uguaglianze al limite che ho parzialmente postato,
proprio grazie alle convergenze di tutte le funzioni in gioco potrai risalire legittimamente al fatto che il limite l finale è pure quello iniziale..
In questo risalire sfrutterai,della teoria,solo la seguente proposizione,
spesso utile nella pratica e che mi pare già d'aver messo evidenzato in passato in questo forum:
$EElim_(x->x_0)f(x)=1,EElim_(x->x_0)|g(x)|=+oo,EElim_(x->x_0)[f(x)-1]g(x)rArrEElim_(x->x_0)[f(x)]^(g(x))=lim_(x->x_0)e^([f(x)-1]g(x))$
(stà attento che,per evitare notazioni per te potenzialmente "strane",
ti dico solo ora che $x_0$ può anche coincidere con uno dei tre simboli contenenti $oo$ come pure il risultato del terzo limite di cui s'ammette l'esistenza nell'ipotesi).
Se invece ti riferivi alla verifica proprio di questo teoremino,
è più fattibile di quanto forse credi;
non sapendo neanche in tal senso quali siano le tue conoscenze sugli ordini d'infinito e/o infinitesimo,
ti dico semplicemente che la sua tesi salta subito fuori dal fatto che,se x varia in un opportuno intorni di $x_0$,
potrai scrivere
$[f(x)]^(g(x))={[1+1/(1/(f(x)-1))]^(1/(f(x)-1))}^(text{[}f(x)-1text{]}g(x))$:
praticamente è come se il comune principio ispiratore delle operazioni operazioni che faresti per calcolare,ad ex,
$lim_(xto0)(cosx)^(1/(x^2))$ oppure $lim_(x->oo)((x^2+1)/(x^2-1))^(logx)$ ,
sia stato evidenziato ed applicato una volta per tutte
(ed infatti non a caso quell'uguaglianza al limite è comunemente considerata nella cosidetta Algebra dei limiti,
denominata tale proprio perchè,con spirito tipico dell'Algebra di base,
sottolinea deduzioni generali sui comportamenti al limite d'intere classi di funzioni soddisfacenti certi requisiti..)!
Spero d'esserti stato utile,
ma ora devo lasciarti alle buone domande che ti poni:
saluti dal web.
Ciao Theras, scusa se ti rispondo con un certo ritardo ma faccio il cameriere e nel weekend sono piuttosto impegnato. Sei stato una bomba! davvero prezioso.
Ciao e alla prossima
Ciao e alla prossima
Ho capito tutto tranne una cosa...da dove salta fuori quel \(\displaystyle x^2 \) nell'ultimo passaggio fatto da theras in \(\displaystyle \frac{sen^2x}{x^2} \)??
il denominatore è uguale a $x$. Allora per ricondursi a limiti notevoli theras moltiplica e divide per $sinx$ e lo stesso fa per $x$, così a denominatore compare $x^2$ che associa a $(sin^2x)/x^2$
era semplice ma ora ho capito senza alcun dubbio! Grazie.
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