Limite per eccesso

[HowardRoark]

Devo verificare che $lim_(x->0) 1/(x^2+1)= 1^-$

Per definizione, ricavo che deve essere $1-epsilon < 1/(x^2+1) < 1$, con $epsilon > 0$.

Risolvo il sistema:

$\{(1/(x^2+1)<1), (1/(x^2+1)>1-epsilon) :}$

La prima disequazione è verificata $AA x in RR - {0}$.

Facendo i calcoli, la seconda disequazione si presenta nella forma:

$(epsilon x^2 -x^2 + epsilon)/(x^2+1)>0$. Siccome il denominatore è sempre positivo, devo porre:

$epsilon x^2 -x^2 +epsilon > 0$.

Risolvo l'equazione associata $x^2(epsilon - 1) + epsilon = 0$. Qui comincio a fare molta confusione.



Svolgendo l'equazione usando due metodi differenti mi vengono due risultati diversi.


1) $x^2(epsilon - 1) + epsilon = 0 => x= +- sqrt( -epsilon/(epsilon -1)$


2) Usando la formula risolutiva canonica, ottengo $ x= (+-sqrt(4 epsilon - 4 epsilon^2))/2 => sqrt(epsilon - epsilon^2)$.


Il dominio è lo stesso, cioè $0

Poi avrei anche un altro dubbio, ma potrebbe essere diretta conseguenza di questo, quindi intanto preferirei risolvere questo.

Cosa sbaglio?

[StellaMartensitica]

"HowardRoark":$ x^2(epsilon - 1) + epsilon = 0 $. Qui comincio a fare molta confusione.

Devi tenere in mente una cosa: $0<\epsilon<"numero piccolo a piacere"$

Allora se hai, giustamente:

$(\epsilon-1)*x^2+\epsilon>0$
Fai intanto che porto $\epsilon$ dall'altra parte.

$(\epsilon-1)*x^2> -\epsilon$
A questo punto attenzione perché $\epsilon-1$ è una quantità negativa, essendo $0<\epsilon<1$ , per quanto scritto sopra OK???
Quindi se dividi entrambi i membri di un equazione per una quantità negativa devi cambiare il verso della disuguaglianza.
$x^2<-\epsilon/(\epsilon-1)$

$\x^2<\epsilon/(1-epsilon)$

Per quanto detto sopra $\epsilon/(1-epsilon)$ è invece sicuramente positivo.

$-sqrt(\epsilon/(1-\epsilon)) Quindi come soluzione ottieni l'insieme:

$-sqrt(\epsilon/(1-\epsilon))
Quindi il limite è verificato. Zero è escluso per il semplice fatto che all'inizio hai imposto un strettamente compreso, e quindi non poteva essere uguale a 1.
Infatti la definizione è:
$\forall \epsilon>0 \exists I(0):-\epsilon

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[HowardRoark]

Chiarissimo! Mi sono appena accorto che sopra ho pasticciato un po' con le formule (avevo posto il coefficiente di $x^2$ uguale a $1$ anziché uguale a $epsilon -1$)...

Grazie mille.

[StellaMartensitica]

Eh si avevo notato adesso che hai fatto un po' di casino con coefficienti. Ciao.