Limite notevole ?

[Ellihca]

ciao a tutti;)
Ho il seguente limite per x che tende a 0 da risolvere:
$((x+1)^5-1)/x$
che con Hopital si risolve facilmente (=5).
Però lo vuole usando le proprietà dei limiti notevoli;
A me viene da porre $(x+1)=t$ con t che ovviamente tende a 1;
la funzione diventerebbe:
$(t^5-1)/(t-1)$
che, dividendo il numeratore per il denominatore diventa $t^4+t^3+t^2+t+1$.
Però non mi pare che ciò abbia a che fare con limiti notevoli....
Qualcune gentilmente ha qualche suggerimento su come risolvere questo limite sfruttando i limiti notevoli ?
Grazie e ancora ciao a tutti !

[Steven11]

Esiste un limite notevole che fa al caso tuo
Esso è
$lim_(xto0) \frac{(x+1)^(alpha)-1}{x}=alpha$
Nel tuo caso hai $alpha=5$

Se ti serve, ti scrivo la dimostrazione.
Ciao.

[Ellihca]

Grazie mille per l'indicazione che mi hai dato;
Se mi mandi anche la dimostazione mi faresti un grande favore visto che sul testo non l'ho trovata;
Ciao e grazie ancora per l'aiuto

[Steven11]

$lim_(xto0) \frac{(x+1)^(alpha)-1}{x}$

Poniamo per comodità $x+1=e^y$ Pertanto si ha che $y->0$ poiché il primo membro tende a $1$
Inoltre $x=e^y-1$

Il limite dunque diventa
$lim_(xto0) \frac{e^(alphay)-1}{e^y-1}$
Dividiamo numeratore e denominatore per $y$ (lecito, visto che divido entrambi) ottenendo
$lim_(xto0) \frac{frac{e^(alphay)-1}{y}}{frac{e^y-1}{y}}$
Sicuramente riconosci che il denominatore tende a 1, per un altro famoso limite notevole (dovresti conoscerlo).
Perciò, visto che il denominatore tende a 1, non dà fastidio e abbiamo solo

$lim_(xto0) \frac{e^(alphay)-1}{y}$
Ora moltiplichiamo questa volta per $alpha$ al numeratore e al denominatore, ottenendo

$lim_(xto0) alpha\frac{e^(alphay)-1}{alphay}$
Il termine $alphay$ va a zero, quindi applicando il limite notevole precedente alla frazione, essa tende e $1$ e rimane solo il termine $alpha$ che stava a moltiplicare.

Se non capisci qualcosa dimmelo
Ciao.

[Nana3]

Posto (1+x)^k-1=z se x tende a zero z tende a zeroora si può scrivere che
(1+x)=1+z
presi i log di ambo i membri
klog(1+x)=log(1+z)
quindi il limite di partenza diventa
lim xche tende a zero ez che tende a zero diz/x

[Ellihca]

Grazie mille ancora, sei stato chiarissimo

Ciao !

[Steven11]

Prego, ciao.

ps: non ho capito molto bene la tua risoluzione, Nana.