Limite notevole

[maribo15]

Su un libro ho trovato che il limite notevole sen(x)/x per x che tende a zero non può essere calcolatato applicando il teorema dell'hopital; su altri il contrario.
Chi ha ragione?
Grazie
maribov

[Pianoth]

Può tranquillamente essere calcolato con De l'Hopital: $lim_(x->0)\sin(x)/x = lim_(x->0)\cos(x) = 1$.
Più che altro, dato che per usare De l'Hopital occorre conoscere le derivate, e il limite notevole $lim_(x->0)\sin(x)/x$ può essere calcolato con più di un metodo senza derivate, usarlo è un po' come risolvere $1 + 1$ rappresentando con dei programmi sul computer la retta $y = x + 1$ sul piano cartesiano e vedere a che valore corrisponde la $y$ quando $x = 1$...

[chisigma]

"maribov":Su un libro ho trovato che il limite notevole sen(x)/x per x che tende a zero non può essere calcolatato applicando il teorema dell'hopital; su altri il contrario.
Chi ha ragione?
Grazie
maribov

Il problema e' che usando il teorema dell'Hopital per il calcolo del limite...

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (1)

... si entra in una sorta di 'circolo vizioso'. Si da il caso che il teorema dell'Hopital fa uso della derivata della funzione $\sin x$ e per dimostrare che e' ...

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$ (2)

... il risultato (1) e' indispensabile. Di conseguenza non e' possibile invocare la (2) per dimostrare che la (1) e' vera...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[Pianoth]

"chisigma":
... il risultato (1) e' indispensabile. Di conseguenza non e' possibile invocare la (2) per dimostrare che la (1) e' vera...

Dopo averci pensato un po', hai ragione, in quanto per calcolare la derivata di $\sin(x)$ si arriva ad un punto in cui (se ricordo bene) bisogna calcolare $lim_(h->0)(\sin(h/2)/(h/2)) = 1$. Quindi non puoi usare De l'Hopital per dimostrare il limite, ma al massimo lo puoi usare per calcolarlo nel caso non ti ricordassi il limite notevole stesso (se però succede ti dovresti vergognare! )