Limite indeterminato...

[kioccolatino90]

ciao a tutti, ho un limite indeterminato del tipo $0/0$ e non riesco a risolverlo, il limite è:

$lim_(x->pi)(arcsin (1+2cosx+cos^2x))/(arctg[arctg((x-pi)/2)^4])$ che ho risolto così:

$lim_(x->pi)(arcsin (cosx+1)^2)/(arctg[(arctg((x-pi)/2)^4)/((x-pi)/2)^4*((x-pi)/2)^4])=$ $lim_(x->pi)(arcsin (cosx+1+1-1)^2)/(arctg[((x-pi)/2)^4])=$ $lim_(x->pi)(arcsin {-(1-cosx)+2}^2)/((x-pi)/2)^4=$

$lim_(x->pi)(arcsin {-((1-cosx)/x^2 *x^2)+2}^2)/((x-pi)/2)^4=$ $lim_(x->pi)(arcsin {-x^2/2+2}^2)/((x-pi)/2)^4$. ora $-x^2/2$ tende e zero e quindi viene:

$lim_(x->pi)(arcsin (4))/((x-pi)/2)^4$ però non si trova... come si deve fare?

[luca961]

Non mi vengono idee per risolverlo, comunque hai fatto qualche errore nella terza riga. x->pigreco non a 0, ricorda

[kioccolatino90]

ah già grazie.... però comunque il limite non lo riesco a risolvere

[Palliit]

Ciao. Secondo me ti conviene prima di tutto porre $t=x-\pi$ e passare ad un limite dove $t \rightarrow 0$.

Poi tener presente che: [tex]\lim_{q\rightarrow 0}\frac{\arcsin q}{q}=1[/tex]__,__[tex]\lim_{q\rightarrow 0}\frac{\arctan q}{q}=1[/tex]__e__[tex]\lim_{q\rightarrow 0}\frac{1-\cos q}{q^2}=\frac{1}{2}[/tex]__, ma mi pare che tu già lo sappia.

A me risulta $4$, salvo errori (miei).

[kioccolatino90]

ok mi trovo anche io 4, grazie mille Palliit....
allora fatte le dovute sostituzioni si ha:


$lim_(x->pi)(arcsin (1+2cosx+cos^2x))/(arctg[arctg((x-pi)/2)^4])=$

$lim_(t->0)arcsin (1+2cos(t+pi)+cos^2(t+pi))/( arctg[arctg ((t)/2)^4 ])=$

$lim_(x->pi)arcsin (1-2cos(t)+cos^2(t))/(arctg[((t)/2)^4])=$

$lim_(x->pi)(arcsin {-(1-cost)/(t^2)t^2}^2)/((t^4)/16)=$

$lim_(x->pi)(arcsin {-(t^2)/2}^2)/((t^4)/16)=$

$lim_(x->pi)((t^4)/4)*(16/(t^4))= 4$ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!