Limite goniometrico

[cavarzeran]

Buongiorno, non riesco a scomporre correttamente questo limite:

$ lim_(x -> 0) (1-cos^3x)/(xsenx) $

Ho provato diversi modi, tra cui scomporre la differenza del cubo del denominatore per eliminare qualcosa:

$ lim_(x -> 0) ((1+cosx)(1+cosx+cos^2x))/(xsenx) $

Ma non vado da nessuna parte.
Anche spezzando il limite in due:

$ lim_(x -> 0) ((1+cosx)/(x))\cdot ((1+cosx+cos^2x)/(senx)) $

Non arrivo da nessuna parte.
Ho come l'impressione di avere la risposta sotto mano, ma di non essere in grado di trovarla.

[Indrjo Dedej]

Hai sbagliato a scomporre $1-\cos^3x$.

[cavarzeran]

$ lim_(x -> 0) ((1-cosx)/(x))((1+cosx+cos^2x)/(senx)) $

In ogni caso non arrivo alla soluzione;
Per esempio, moltiplicando tutto per $ x/x $,
$ lim_(x -> 0) ((1-cosx)/(x^2))(x/(senx))(1+cosx+cos^2x) $
Il primo membro fa $ 1/2 $ (limite notevole), il terzo fa $ 3 $ ma il secondo non fa $ 1 $ visto che il limite notevole è:

$ lim_(x -> 0) (senx)/(x)= 1 $

... A meno che non sia valida questa uguaglianza!

$ lim_(x -> 0) (x)/(senx)= 1^-1=1 $

È valida?

Il risultato del limite è proprio $ 3/2 $

[Indrjo Dedej]

Giusto.

"erroreconcettuale":
$ lim_(x -> 0) (senx)/(x)= 1 $

... A meno che non sia valida questa uguaglianza!

$ lim_(x -> 0) (x)/(senx)= 1^-1=1 $

È valida?

In questo caso sì. Esercizietto: riesci a dirmi tu il perché, usando le definizioni e i teoremi che da il tuo libro?