Limite funzione per x tendente a un valore finito

[Nausicaa912]

$\lim_{x \to \1/2}x^2-x-1/4= 0$

allora si ha

$ |(x-1/2)^2|< epsilon $

arrivati a questo punto, a me verrebbe di togliere il valore assoluto perchè è un quadrato ed è sempre positivo, ma se lo faccio non si trova...
deve trovarsi un intorno di 1/2.

Altro dubbio

ho ad esempio: $\lim_{x \to \1+}1/sqrt(x^2-1)= +infty$

$1/sqrt(x^2-1) - M >0 $

quando faccio il minimo comune multiplo, il denominatore rimane vero?
Poi posso elevare al quadrato entrambi i membri senza formule?
Quali sono le restrizioni che devo fare?

grazie mille!

[Nicole931]

Invece è giusto, perchè hai:

$(x-1/2)^2 $-epsilon
Nel secondo caso : il denominatore è sempre positivo (si annulla in 1, ma nella definizione di limite non interessa ciò che accade in quel punto) quindi si può eliminare
ottieni quindi :

$M*sqrt(x^2-1)<1$ e a questo punto puoi elevare tutto al quadrato e poi risolvere rispetto ad x analogamente a prima

[Nausicaa912]

la seconda cosa mi è chiara, la prima non molto... perchè devo togliere il quadrato? Se lo tolgo poi devo fare la radice di episilon, oppure no?
Perchè non posso togliere il valore assoluto, se un quadrato è sempre positivo e si annulla solo per x=1/2 se poi a me non interessa cosa fa la funzione in quel punto?
Scusami

[Nicole931]

per quanto riguarda la radice di epsilon hai ragione, mentre non hai le idee molto chiare sulla soluzione di una disequazione
è come se tu avessi :$x^2

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[Nausicaa912]

si adesso ci sono arrivata! Ho dimenticato la radice negativa! XD
grazie mile!
quindi viene
$ x-2<+- sqrt(epsilon) $

quindi
$ x= +- sqrt(epsilon) +2

vado a risolvere questa disequazione, per valori interni.
giusto? Scrivo bene così?

[Nicole931]

prego, e buono studio!

sì, è giusto (a parte che è $1/2$)

[franced]

Attenzione:

$x^2 - x - 1/4$ non è il quadrato di $(x - 1/2)^2$

forse volevi scrivere

$x^2 - x + 1/4$ .

[Nausicaa912]

"franced":Attenzione:

$x^2 - x - 1/4$ non è il quadrato di $(x - 1/2)^2$

forse volevi scrivere

$x^2 - x + 1/4$ .

si, ho sbagliato a scrivere!
ringrazio nuovamente...
e avrei un'altra cosa da chiedere (domani ho il compito, perdonatemi!)

se io ho $\lim_{n \to \infty}1/(x^2+6x+9)=0$

ho quindi

$|\/(x+3)^2| < epsilon

stavolta, il quadrato è positivo, tranne che per $x=-3$
quindi, stavolta non posso togliere il valore assoluto... vero?

[Paolo902]

"Nausicaa91":si adesso ci sono arrivata! Ho dimenticato la radice negativa! XD
grazie mile!
quindi viene
$ x-2<+- sqrt(epsilon) $

quindi
$ x= +- sqrt(epsilon) +2

vado a risolvere questa disequazione, per valori interni.
giusto? Scrivo bene così?

Ma, a essere sincero, $ x-2<+- sqrt(epsilon) $ è una cosa piuttosto bruttina, oltre che priva di senso; insomma, è del tutto sbagliata. Infatti, la disequazione $x^2<4$, ad esempio, non ha come soluzioni $x<+-2$. Che cosa vorrebbe dire ciò?

Piuttosto, si fa così: $x^2<4$ è equivalente a $|x|<2$ (prendendo le radici di ambo i membri) che diventa $-2 Ti invito a riscrivere i tuoi passaggi in questa forma, perchè temo che nessun professore accetterebbe ciò che hai scritto tu sopra...

[Nicole931]

concordo con quello che ha detto Paolo; in effetti, scrivere $x-2<+-sqrt(epsilon)$ è sbagliato

inoltre, non vedo perchè il caso che hai ultimamente proposto dovrebbe essere diverso dal precedente
anche in questo caso infatti puoi togliere il valore assoluto, poichè un quadrato è sempre positivo o nullo ( ma $x->oo$, quindi non si annullerà sicuramente in un intorno di infinito)

la tua disequazione diventa allora:
$1/(x+3)^2 puoi ora passare alla disuguaglianza tra gli inversi, cambiando però il verso della disequazione (sempre perchè il quadrato è positivo):

$(x+3)^2>1/epsilon$

ed ora, come prima, le soluzioni dell'equazione associata sono due, e la disequazione è risolta per valori "esterni":

$(x+3)<-1/sqrt(epsilon) V (x+3)>1/sqrt(epsilon)$

così facendo arrivi ad ottenere gli intorni di $+-oo$ cercati

[Nausicaa912]

ho capito, grazie mille. quindi in realtà e' come se avessi un valore assoluto, in un altro valore assoluto, da ciò che hai scritto... quindi ne considero solo uno, andando a svolgere la disequazione?

[Nausicaa912]

"Nicole93":concordo con quello che ha detto Paolo; in effetti, scrivere $x-2<+-sqrt(epsilon)$ è sbagliato

inoltre, non vedo perchè il caso che hai ultimamente proposto dovrebbe essere diverso dal precedente
anche in questo caso infatti puoi togliere il valore assoluto, poichè un quadrato è sempre positivo o nullo ( ma $x->oo$, quindi non si annullerà sicuramente in un intorno di infinito)

la tua disequazione diventa allora:
$1/(x+3)^2 puoi ora passare alla disuguaglianza tra gli inversi, cambiando però il verso della disequazione (sempre perchè il quadrato è positivo):

$(x+3)^2>1/epsilon$

ed ora, come prima, le soluzioni dell'equazione associata sono due, e la disequazione è risolta per valori "esterni":

$(x+3)<-1/sqrt(epsilon) V (x+3)>1/sqrt(epsilon)$

così facendo arrivi ad ottenere gli intorni di $+-oo$ cercati

ho capito, grazie. in effetti, in un intorno di infinito non si annullerà di certo per x=-3!
Grazie, siete illuminanti!

[Nicole931]

no, il valore assoluto è solo il primo
poi si risolve come una normale disequazione di secondo grado pura
Esempio :
$x^2-4>0$
soluzioni : $x<-2 V x>2$
Se invece ho :$x^2-4<0$ le soluzioni sono -2
scusa, non avevo visto l'altra tua risposta (forse la stavi scrivendo) e questa mia si riferisce a quello che hai scritto precedentemente

[Nausicaa912]

non preoccuparti, grazie per il tuo tempo. ho tutto chiaro.

[franced]

"Paolo90":
...
Ma, a essere sincero, $ x-2<+- sqrt(epsilon) $ è una cosa piuttosto bruttina, oltre che priva di senso; insomma, è del tutto sbagliata. Infatti, la disequazione $x^2<4$, ad esempio, non ha come soluzioni $x<+-2$. Che cosa vorrebbe dire ciò?
...

E' uno degli errori più frequenti.
Almeno per la mia esperienza di insegnante.