Limite forma indeterminata
$\lim_{x \to \infty}((2x + 1)/(3 + 2x))^(x-1)$
forma indeterminata, procendo con la regola e viene
$lim_{x \to \infty}e^(log((2x + 1)/(3 + 2x))^(x-1))$
quindi per la legola dei logaritmi
$lim_{x \to \infty}(x-1)log((2x + 1)/(3 + 2x))$
risolvendo mi esce 0... quindi $e^0=1$ ma non è questo il risultato... si dovrebbe trovare $1/e$
forma indeterminata, procendo con la regola e viene
$lim_{x \to \infty}e^(log((2x + 1)/(3 + 2x))^(x-1))$
quindi per la legola dei logaritmi
$lim_{x \to \infty}(x-1)log((2x + 1)/(3 + 2x))$
risolvendo mi esce 0... quindi $e^0=1$ ma non è questo il risultato... si dovrebbe trovare $1/e$
Risposte
[quote=Nausicaa91]$\lim_{x \to \infty}((2x + 1)/(3 + 2x))^(x-1)$
forma indeterminata, procendo con la regola e viene
$lim_{x \to \infty}e^(log((2x + 1)/(3 + 2x))^(x-1))$
quindi per la legola dei logaritmi
$lim_{x \to \infty}(x-1)log((2x + 1)/(3 + 2x))$
Ti do un piccolo aiuto, se aggiungi e sottrai al numeratore il valore $2$ e poi effettui un cambio di variabile otterrai un limite notevole molto utilizzato in matematica. Attendo alle proprietà dei logaritmi.
Non è vero che: $lim_{x \to \infty}e^(log((2x + 1)/(3 + 2x))^(x-1))=lim_{x \to \infty}(x-1)log((2x + 1)/(3 + 2x))$, ma è uguale a $lim_{x \to \infty}e^((x-1)log((2x + 1)/(3 + 2x)))$
Ciao.
forma indeterminata, procendo con la regola e viene
$lim_{x \to \infty}e^(log((2x + 1)/(3 + 2x))^(x-1))$
quindi per la legola dei logaritmi
$lim_{x \to \infty}(x-1)log((2x + 1)/(3 + 2x))$
Ti do un piccolo aiuto, se aggiungi e sottrai al numeratore il valore $2$ e poi effettui un cambio di variabile otterrai un limite notevole molto utilizzato in matematica. Attendo alle proprietà dei logaritmi.
Non è vero che: $lim_{x \to \infty}e^(log((2x + 1)/(3 + 2x))^(x-1))=lim_{x \to \infty}(x-1)log((2x + 1)/(3 + 2x))$, ma è uguale a $lim_{x \to \infty}e^((x-1)log((2x + 1)/(3 + 2x)))$
Ciao.
si, non avevo riscritto la base e per comodità... visto che poi per le funzioni composte se calcolo il limite dell'esponente e poi elevo la base al risultato...
ma mi sa che ho biosogno di un suggerimento più profondo, perchè non ho ben capito. anche se ho inteso il limite notevole a cui ti riferisci...
ma mi sa che ho biosogno di un suggerimento più profondo, perchè non ho ben capito. anche se ho inteso il limite notevole a cui ti riferisci...
Poni $(2x + 1)/(3 + 2x)=1+1/t$ ricava $x$ e $t$ e poi sostituisci
Vedrai che torna tutto
Vedrai che torna tutto
oh grazie mille! ci provo subito!
ehm, mi vergogno a dirlo, ma mi trovo una cosa del genere...
$\lim_{x \to \0}log(1+1/t)^(t-5/2)$
mmh...
$\lim_{x \to \0}log(1+1/t)^(t-5/2)$
mmh...
$\lim_{x \to \infty}((2x + 1)/(3 + 2x))^(x-1)$
Con la sostituzione consigliatati da "Amelia":
$(2x + 1)/(3 + 2x) -> 1$ per $ x -> oo$
$( 1 + 1/t ) -> 1$ per $t -> oo$
Con qualche calcolo trovi che:
$x = - t - 3/2$
Quindi il limite:
$\lim_{t \to \infty}(1 + 1/t)^(( - t - 3/2) -1)$
...
Lascia perdere l'identità logaritmica...
Con la sostituzione consigliatati da "Amelia":
$(2x + 1)/(3 + 2x) -> 1$ per $ x -> oo$
$( 1 + 1/t ) -> 1$ per $t -> oo$
Con qualche calcolo trovi che:
$x = - t - 3/2$
Quindi il limite:
$\lim_{t \to \infty}(1 + 1/t)^(( - t - 3/2) -1)$
...
Lascia perdere l'identità logaritmica...
ah, ok... poi come dovrò procedere?
quindi mi viene
$\lim_{t \to \infty}(1 + 1/t)^( - t - 5/2)$
che è uguale a
$\lim_{t \to \infty}(1 + 1/t)^ -t / (1+1/t)^-5/2]$
il primo è uguale a 1/e. il secondo è uguale a 1 (me l'hai fatto vedere anche tu)
quindi è uguale a 1/e.
wow, grazie mille...
mi ero fissata per la regola degli logaritmi.. $a= e^(log_ea)$
perchè l'esercizio è catalogato sotto quella tipologia lì...
grazie, davvero.
quindi mi viene
$\lim_{t \to \infty}(1 + 1/t)^( - t - 5/2)$
che è uguale a
$\lim_{t \to \infty}(1 + 1/t)^ -t / (1+1/t)^-5/2]$
il primo è uguale a 1/e. il secondo è uguale a 1 (me l'hai fatto vedere anche tu)
quindi è uguale a 1/e.
wow, grazie mille...
mi ero fissata per la regola degli logaritmi.. $a= e^(log_ea)$
perchè l'esercizio è catalogato sotto quella tipologia lì...
grazie, davvero.
$\lim_{x\to\infty}((2x+1)/(3+2x))^(x-1)$
$\lim_{x\to\infty}((2x+1+2-2)/(3+2x))^(x-1)$
$\lim_{x\to\infty}((2x+3-2)/(3+2x))^(x-1)$
$\lim_{x\to\infty}((2x+3)/(3+2x)-2/(3+2x))^(x-1)$
Cambio di variabile $-2/(3+2x)=1/y$, quindi $x=(-3-2y)/2$, se $x\to\infty$, $y\to\infty$ il limite diventa:
$\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^((-3-2y)/2-1)$
$\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^(-3/2-y-1)$
$\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^(-y-5/2)$
$\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^(-y)\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^(-5/2)=e^(-1)*(1)^(-5/2)=1/e$
E' chiaro?
Ciao.
$\lim_{x\to\infty}((2x+1+2-2)/(3+2x))^(x-1)$
$\lim_{x\to\infty}((2x+3-2)/(3+2x))^(x-1)$
$\lim_{x\to\infty}((2x+3)/(3+2x)-2/(3+2x))^(x-1)$
Cambio di variabile $-2/(3+2x)=1/y$, quindi $x=(-3-2y)/2$, se $x\to\infty$, $y\to\infty$ il limite diventa:
$\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^((-3-2y)/2-1)$
$\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^(-3/2-y-1)$
$\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^(-y-5/2)$
$\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^(-y)\lim_{y\to\infty}(1+1/y)^(-5/2)=e^(-1)*(1)^(-5/2)=1/e$
E' chiaro?
Ciao.
chiarissimo anche così, grazie mille.
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