Limite fondamentale

[peppe6000]

lim x->0 sin 3x/ sin 4x

Gentilmente se è possibile vorrei spiegato i vari passaggi effettuati, grazie.

ps: svilupparlo senza derivate.

[bimbozza]

[math]lim_{x \to 0} \frac{sin (3x)}{sin (4x)} [/math]

sfruttiamo il limite notevole

[math]lim_{x \to 0} \frac{sin (f(x))}{f(x)} =1[/math]

moltiplicando e dividendo il seno per la loro funzione.

[math]lim_{x \to 0}sin (3x) \frac{3x}{3x}* \frac{1}{sin4x}*\frac{4x}{4x} [/math]

[math]lim_{x \to 0} \frac{sin (3x)}{3x}* \frac{4x}{sin4x}* \frac{3x}{4x} [/math]

i primi due rapporti danno 1, il terzo si semplifica e il limite torna 3/4.

Se qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure...

Stefania

[peppe6000]

non ho capito perchè si scompone cosi

[bimbozza]

scrivere a/b o a*1/b è la stessa cosa no? quindi sin(3x)/sin(4x)= sin3x*1/sin(4x). Detto questo ho solo moltiplicato numeratore e denominatore di entrambe le funzioni in modo da ottenere il limite notevole.
La scomposizione l'ho fatta proprio per cercare di evidenziare che

[math] lim_{x \to 0}\frac{sin(3x)}{3x}=1[/math]

e

[math] lim_{x \to 0}\frac{4x}{sin(4x)}=1[/math]