Limite e dubbio con f limitata
Salve a tutti,
mi è venuto un dubbio sul seguente limite che ha svolto il mio professore:
$Lim_(x->0^+) x^(1/2)cos(1/x)=0$ perchè:
$Lim_(x->0^+) 0^(1/2)$ moltiplicato per una funzione limitata quale $cos(1/x)=0$.
cioè se io moltiplico 0 per una funzione limitata questo è uguale a 0? Si può fare?
mi è venuto un dubbio sul seguente limite che ha svolto il mio professore:
$Lim_(x->0^+) x^(1/2)cos(1/x)=0$ perchè:
$Lim_(x->0^+) 0^(1/2)$ moltiplicato per una funzione limitata quale $cos(1/x)=0$.
cioè se io moltiplico 0 per una funzione limitata questo è uguale a 0? Si può fare?
Risposte
Sì, è corretto.
Infatti $-1<=cos(1/x)<=1$. Moltiplichiamo tutto per $sqrtx$ e otteniamo:
$-sqrtx<=sqrtxcos(1/x)<=sqrtx$
Ora per il teorema del confronto, $sqrtxcos(1/x)$
tende a 0 per x che tende a 0, infatti sia $-sqrtx$
che $sqrtx$ tendono a 0 per x che tende a 0 (sempre da destra).
Infatti $-1<=cos(1/x)<=1$. Moltiplichiamo tutto per $sqrtx$ e otteniamo:
$-sqrtx<=sqrtxcos(1/x)<=sqrtx$
Ora per il teorema del confronto, $sqrtxcos(1/x)$
tende a 0 per x che tende a 0, infatti sia $-sqrtx$
che $sqrtx$ tendono a 0 per x che tende a 0 (sempre da destra).
"fireball":
Sì, è corretto.
Infatti $-1<=cos(1/x)<=1$. Moltiplichiamo tutto per $sqrtx$ e otteniamo:
$-sqrtx<=sqrtxcos(1/x)<=sqrtx$
Ora per il teorema del confronto, $sqrtxcos(1/x)$
tende a 0 per x che tende a 0, infatti sia $-sqrtx$
che $sqrtx$ tendono a 0 per x che tende a 0 (sempre da destra).
grazie 1000 caro fireball
Ho un'altro dubbio
se prendo questo limite $lim_(X->0^+) (Cosx)/x=+oo$ è sempre una funzione limitata(cosX) che diviso infinto è uguale a 0? Giusto?
Ovviamente preso da se $lim_(X->0^+) (Cosx)$ non esiste
se prendo questo limite $lim_(X->0^+) (Cosx)/x=+oo$ è sempre una funzione limitata(cosX) che diviso infinto è uguale a 0? Giusto?
Ovviamente preso da se $lim_(X->0^+) (Cosx)$ non esiste
Sì, il cos è limitato, ma in questo caso il teorema
del confronto non va bene, perché se partiamo da
$-1<=cosx<=1$
e dividiamo tutto per x:
$-1/x<=(cosx)/x<=1/x$
vediamo che per $x->0^+$, $-1/x$ e $1/x$
tendono a due limiti diversi, quindi
non possiamo dire niente sul comportamento
di $(cosx)/x$ per $x->0^+$ !!!
Ma non fissarti sui teoremi delle funzioni limitate...
Osserva semplicemente che questo limite non
presenta una forma indeterminata, infatti se
vai a mettere $0^+$ al posto di x nella frazione
$(cosx)/x$ ottieni che il numeratore tende a 1
e il denominatore a $0^+$, quindi il tutto va a $+oo$.
Quando dici che $lim_(x->0^+) cosx$ non esiste, mi auguro tu stia scherzando...
del confronto non va bene, perché se partiamo da
$-1<=cosx<=1$
e dividiamo tutto per x:
$-1/x<=(cosx)/x<=1/x$
vediamo che per $x->0^+$, $-1/x$ e $1/x$
tendono a due limiti diversi, quindi
non possiamo dire niente sul comportamento
di $(cosx)/x$ per $x->0^+$ !!!
Ma non fissarti sui teoremi delle funzioni limitate...
Osserva semplicemente che questo limite non
presenta una forma indeterminata, infatti se
vai a mettere $0^+$ al posto di x nella frazione
$(cosx)/x$ ottieni che il numeratore tende a 1
e il denominatore a $0^+$, quindi il tutto va a $+oo$.
Quando dici che $lim_(x->0^+) cosx$ non esiste, mi auguro tu stia scherzando...
"fireball":
Sì, il cos è limitato, ma in questo caso il teorema
del confronto non va bene, perché se partiamo da
$-1<=cosx<=1$
e dividiamo tutto per x:
$-1/x<=(cosx)/x<=1/x$
vediamo che per $x->0^+$, $-1/x$ e $1/x$
tendono a due limiti diversi, quindi
non possiamo dire niente sul comportamento
di $(cosx)/x$ per $x->0^+$ !!!
Ma non fissarti sui teoremi delle funzioni limitate...
Osserva semplicemente che questo limite non
presenta una forma indeterminata, infatti se
vai a mettere $0^+$ al posto di x nella frazione
$(cosx)/x$ ottieni che il numeratore tende a 1
e il denominatore a $0^+$, quindi il tutto va a $+oo$.
Quando dici che $lim_(x->0^+) cosx$ non esiste, mi auguro tu stia scherzando...
Abbi pazienza ma ho sbagliato il limite ti rifaccio la domanda, (scusami se approfitto)
se prendo questo limite $lim_(X->oo^+) (Cosx)/x=+0$ è sempre una funzione limitata(cosX) che diviso infinto è uguale a 0? Giusto?
Ovviamente preso da se $lim_(X->oo^+) (Cosx)$ non esiste
"Akillez":
Abbi pazienza ma ho sbagliato il limite ti rifaccio la domanda, (scusami se approfitto)
se prendo questo limite $lim_(X->oo^+) (Cosx)/x=+0$ è sempre una funzione limitata(cosX) che diviso infinto è uguale a 0? Giusto?
Sì. Ma tende semplicemente a 0 il limite, non a $0^+$.
"fireball":
Sì. Ma tende semplicemente a 0 il limite, non a $0^+$.
In quanto cos x oscilla sempre tra -1 e +1 ..
Già, proprio così.
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