Limite difficile
Ho questo limite: $lim_(x->0)((cos2x-e^(x^2))/(sin4xln(1-2x)))$
Mi ha messo in difficoltà.
Ho tentato di semplificare così: $lim_(x->0)((cos2x)/(sin4xln(1-2x))-e^(x^2)/(sin4xln(1-2x))))$
Poi: $lim_(x->0)((cos2x)/(2sin2xcos2xln(1-2x))-e^(x^2)/(sin4xln(1-2x)))$
Semplificando: $ lim_(x->0)(1/2*1/(2sin2xln(1-2x))-e^(x^2)/(sin4xln(1-2x))))$
Da qui non so come proseguire. Potreste darmi qualche suggerimento?
Mi ha messo in difficoltà.
Ho tentato di semplificare così: $lim_(x->0)((cos2x)/(sin4xln(1-2x))-e^(x^2)/(sin4xln(1-2x))))$
Poi: $lim_(x->0)((cos2x)/(2sin2xcos2xln(1-2x))-e^(x^2)/(sin4xln(1-2x)))$
Semplificando: $ lim_(x->0)(1/2*1/(2sin2xln(1-2x))-e^(x^2)/(sin4xln(1-2x))))$
Da qui non so come proseguire. Potreste darmi qualche suggerimento?
Risposte
In questo caso non hai fatto un buon lavoro perché partendo da dei limiti nella forma $0/0$ sei passato ad una forma più infida del tipo $oo-oo$, opterei per una trasformazione tipo
$ lim_(x->0)((cos2x-1+1-e^(x^2))/(sin4xln(1-2x))) =lim_(x->0)((cos2x-1)/(sin4xln(1-2x))+(1-e^(x^2))/(sin4xln(1-2x))) $ da cui dovresti sapertela cavare da solo.
$ lim_(x->0)((cos2x-1+1-e^(x^2))/(sin4xln(1-2x))) =lim_(x->0)((cos2x-1)/(sin4xln(1-2x))+(1-e^(x^2))/(sin4xln(1-2x))) $ da cui dovresti sapertela cavare da solo.
Ok, però ancora non capisco come procedere. Ho pensato di trasformare il $sin4x$ per semplificarlo con $cos2x$ ma non credo sia la mossa giusta.Poi ho pensato al limite notevole del logaritmo, ma lì ho $1-2x$ anzichè $2x+1$ e poi non saprei come modificare quel $e^(x^2)$. Ho pensato di spezzare ancor di più: $lim_(x->0)((cos2x)/(sin4xln(1-2x))-1/(sin4xln(1-2x)))$ e fare lo stesso con l'altro addendo ottenendo così quattro parti, però non mi sembra molto efficace.
EDIT: il primo e il secondo pezzo sono riuscito a semplificarli a: $lim_(x->0)(-1/(2ln(1-2x))+(-x^2)/(sin4xln(1-2x)))$
EDIT: il primo e il secondo pezzo sono riuscito a semplificarli a: $lim_(x->0)(-1/(2ln(1-2x))+(-x^2)/(sin4xln(1-2x)))$
Dividi num. e den. per x^2 dopo che hai sviluppato il num. come suggerito da @melia. Più spezzi in questo caso e più diventa complicato. Devi pensare a quale limite notevole "assomiglia" il tuo limite.
Ma quindi da qui non posso proseguire?
$ lim_(x->0)((cos2x-1+1-e^(x^2))/(sin4xln(1-2x))) =lim_(x->0)((cos2x-1)/(sin4xln(1-2x))+(1-e^(x^2))/(sin4xln(1-2x))) =$
$=lim_(x->0)[(cos(2x)-1)/(2x)^2)/((sin(4x)*ln(1-2x))/((2x)*(2x)))-((e^(x^2)-1)/x^2)/((sin(4x)*ln(1-2x))/(x*x))]$
Riesci a vedere? Se non vedi i limiti notevoli sforzati. In caso ti mostro un altro passaggio.
$=lim_(x->0)[(cos(2x)-1)/(2x)^2)/((sin(4x)*ln(1-2x))/((2x)*(2x)))-((e^(x^2)-1)/x^2)/((sin(4x)*ln(1-2x))/(x*x))]$
Riesci a vedere? Se non vedi i limiti notevoli sforzati. In caso ti mostro un altro passaggio.
Ok, però non capisco cosa risolverei così, nella prima frazione al numeratore dovrei applicare il limite notevole
$lim_(x->0)((1-cosx)/x^2)$. Mentre al denominatore mi servirebbe un $4x$ anziche $4x^2$ e non posso sfruttare il logaritmo.
Nell'altra frazione al numeratore viene $1$, ma al denominatore stesso problema, non posso sftuttare i limiti notevoli.
Gli unici che sono riuscito a vedere sono quelli al numeratore delle due frazioni.
$lim_(x->0)((1-cosx)/x^2)$. Mentre al denominatore mi servirebbe un $4x$ anziche $4x^2$ e non posso sfruttare il logaritmo.
Nell'altra frazione al numeratore viene $1$, ma al denominatore stesso problema, non posso sftuttare i limiti notevoli.
Gli unici che sono riuscito a vedere sono quelli al numeratore delle due frazioni.
Infatti il passaggio dopo deve essere per forza questo:
$ =lim_(x->0)[((cos(2x)-1)/(2x)^2)/((2*sin(4x))/(2*2x)*(ln(1-2x)*(-1))/((-1)*2x))-((e^(x^2)-1)/x^2)/(((4*sin(4x))/(4*x))*(-2*ln(1-2x))/(-2*x))] $
Il prossimo passaggio è la soluzione del limite (queste parentesi mi fanno impazzire).
Ricorda che :
$lim_(x->0)(ln(1+x)/x)=1$
$lim_(x->0)(sin(x)/x)=1$ ok?
Devi fare tanti esercizi prima di capire immediatamente per ogni caso cosa fare. Poi al compito non credo che ti metteranno cose così articolate. Con le equivalenze di infinitesimi però diventa molto più semplice.
$ =lim_(x->0)[((cos(2x)-1)/(2x)^2)/((2*sin(4x))/(2*2x)*(ln(1-2x)*(-1))/((-1)*2x))-((e^(x^2)-1)/x^2)/(((4*sin(4x))/(4*x))*(-2*ln(1-2x))/(-2*x))] $
Il prossimo passaggio è la soluzione del limite (queste parentesi mi fanno impazzire).
Ricorda che :
$lim_(x->0)(ln(1+x)/x)=1$
$lim_(x->0)(sin(x)/x)=1$ ok?
Devi fare tanti esercizi prima di capire immediatamente per ogni caso cosa fare. Poi al compito non credo che ti metteranno cose così articolate. Con le equivalenze di infinitesimi però diventa molto più semplice.
Allora vediamo se ho capito: questo infine diventa:
$lim_(x->0)[(-(1-cos(2x))/(2x)^2)/((2*sin(4x))/(2*2x)*(ln(1+(-2x))*(-1))/((-1)*2x))-((e^(x^2)-1)/x^2)/(((4*sin(4x))/(4*x))*(-2*ln(1+(-2x)))/(-2*x))] $
$lim_(x->0)(-(1/2)/(2*1)-1/(1*1))=-5/4$
$lim_(x->0)[(-(1-cos(2x))/(2x)^2)/((2*sin(4x))/(2*2x)*(ln(1+(-2x))*(-1))/((-1)*2x))-((e^(x^2)-1)/x^2)/(((4*sin(4x))/(4*x))*(-2*ln(1+(-2x)))/(-2*x))] $
$lim_(x->0)(-(1/2)/(2*1)-1/(1*1))=-5/4$
$ lim_(x->0)[ln(1+(-2x))*(-1))/((-1)*2x))]$
Questo limite fa -1 stai attento ai calcoli.
Analogamente hai:
$ lim_(x->0)[(-2*ln(1+(-2x)))/(-2*x))]=-2 $
Questo limite fa -1 stai attento ai calcoli.
Analogamente hai:
$ lim_(x->0)[(-2*ln(1+(-2x)))/(-2*x))]=-2 $
Perfetto, il risultato ora viene, ti ringrazio tantissimo per la pazienza (le parentesi sono una scocciatura).
Figurati.
Se vuoi un esercizio simile, dal procedimento conciso ma comunque significativo ti consiglio il seguente, che puoi provare a fare tranquillamente se, quando e come ti pare:
$lim_(x->0)ln(5-4cosx)/(x*tgx)$
Se riesci a fare questo secondo me sei a buon punto su questo tipo di esercizietti.
[il risultato è... semplicemente... 2].
Ciao e "buono" studio.
Se vuoi un esercizio simile, dal procedimento conciso ma comunque significativo ti consiglio il seguente, che puoi provare a fare tranquillamente se, quando e come ti pare:
$lim_(x->0)ln(5-4cosx)/(x*tgx)$
Se riesci a fare questo secondo me sei a buon punto su questo tipo di esercizietti.
[il risultato è... semplicemente... 2].
Ciao e "buono" studio.
Grazie tante!!
Riprendo il thread riguardo l'esercizio che mi hai consigliato.
$lim_(x->0)(ln(5-4cosx)/(xtgx))$
Ho applicato il limite notevole del seno al denominatore e ottengo: $lim_(x->0)(cosx*ln(5-4cosx)/x^2)$
Ora qui ho un dubbio: cerco di ottenere limiti notevoli col $cosx$ e con $ln(5-4cosx)$, oppure faccio il limite della funzione composta (che non ricordo neanche come). Attendo un consiglio, ma molto probabilmente la prima opzione.
$lim_(x->0)(ln(5-4cosx)/(xtgx))$
Ho applicato il limite notevole del seno al denominatore e ottengo: $lim_(x->0)(cosx*ln(5-4cosx)/x^2)$
Ora qui ho un dubbio: cerco di ottenere limiti notevoli col $cosx$ e con $ln(5-4cosx)$, oppure faccio il limite della funzione composta (che non ricordo neanche come). Attendo un consiglio, ma molto probabilmente la prima opzione.
Attenzione che rischi di ingarbugliarti. In realtà l'esercizio è da pochi passaggi. Occorrono solo i limiti notevoli, è identico all'esercizio proposto da te.
$ lim_(x->0)(ln(5-4cosx)/(xtgx)) =lim_(x->0)ln(1+(4-4cosx))/(x*tg(x))$
Lo vedi meglio adesso secondo me. Ricorda che il limite notevole per il denominatore in questo caso è:
$lim_(x->0)(tg(x))/x=1$
Se ancora non lo vedi bene allora ho un altro suggerimento:
$=lim_(x->0)(ln(1+(4-4cosx))/(4-4cosx))/((xtg(x))/(4-4cosx))=lim_(x->0)(ln(1+(4-4cosx))/(4-4cosx))/(((xtg(x))/x^2)/(((4-4cosx))/x^2))$
Tieni a mente che $4-4cosx$ va a zero per $x->0$ e quindi quello a numeratore non è altro che il limite notevole del logaritmo. Sovente in questi esercizi bisogna capire cosa sommare e sottrarre e per cosa dividere e moltiplicare. Completi il puzzle in pratica.
$ lim_(x->0)(ln(5-4cosx)/(xtgx)) =lim_(x->0)ln(1+(4-4cosx))/(x*tg(x))$
Lo vedi meglio adesso secondo me. Ricorda che il limite notevole per il denominatore in questo caso è:
$lim_(x->0)(tg(x))/x=1$
Se ancora non lo vedi bene allora ho un altro suggerimento:
$=lim_(x->0)(ln(1+(4-4cosx))/(4-4cosx))/((xtg(x))/(4-4cosx))=lim_(x->0)(ln(1+(4-4cosx))/(4-4cosx))/(((xtg(x))/x^2)/(((4-4cosx))/x^2))$
Tieni a mente che $4-4cosx$ va a zero per $x->0$ e quindi quello a numeratore non è altro che il limite notevole del logaritmo. Sovente in questi esercizi bisogna capire cosa sommare e sottrarre e per cosa dividere e moltiplicare. Completi il puzzle in pratica.
Grazie tante di avermi aiutato, ora il risultato viene proprio 2.
Ciao, buona serata.
Potrei chiedere un'ultima cosa?
Questo genere di esercizio è da liceo o universitario?
Questo genere di esercizio è da liceo o universitario?
Quello che ti ho mandato io l'ho preso da un libro universitario. Quindi se non ti è venuto al primo colpo non preoccuparti.
Ah ecco, ok, perchè nel mio libro che è di liceo non ho trovato esercizi simili. Infatti stavo pensando di prendere un testo universitario di analisi 1 con tanto di eserciziario per capire meglio la teoria che viene trattata superficialmente e banalmente. Questo libro me lo conisiglieresti?
https://www.amazon.it/Analisi-matematic ... =analisi+1
https://www.amazon.it/Analisi-matematic ... =analisi+1
La teoria secondo me è la parte più pallosa (faccio ingegneria) . Però se a te proprio piace alla fine un libro vale l'altro. Dato che presumo poi vorrai continuare gli studi prova a vedere un po' i libri delle bibliografie dei corsi di analisi I (in genere pibblicate online) che consigliano nell'università dove prevedi di andare a finire e prendi quelli così poi non scopri di aver fatto una spesa per niente. Io uso quello che mi hanno consigliato qua all'università dove studio che praticamente l'ha scritto un docente interno. Ce ne sono tantissimi equipollenti. Attento agli eserciziari di matematica universitari recenti però: sono pieni zeppi di errori di stampa... e pensare che li fanno pure pagare. Se poi passa qualche utente più esperto e ti da qualche consiglio più consistente è meglio dato che io devo ancora passarla analisi e quindi potrei non essere la persona adatta per dispensare consigli.
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