Limite di un'esponenziale

[ipaxo]

ciao ragazzi,

mi aiutate a calcolare questo limite:

\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(x+1)^\frac{1}{ln {x}} \)

considerando la forma con e elavato al logaritmo naturale mi ritrovo con

\(\displaystyle \frac{ln{(x+1)}}{ln {x}} \) che è infinito su infinito.

a questo punto non so come procedere..

[volaff1]

Prova a utilizzare il teorema di l'Hopital

[cooper1]

potresti anche raccogliere la x dentro al logaritmo al numeratore e poi applicare le proprietà dei logaritmi.

[ipaxo]

mi sa che posso scansarmi sia de l'hopital che le proprietà dei logaritmi:

\(\displaystyle

\lim_{x\to +\infty} \frac{ln(x+1)}{ln{x}} =


\lim_{x\to +\infty} \frac{ln{ (x (1+ \frac{1}{x} ) ) } }{ln {x}} =


\lim_{x\to +\infty} \frac{ln{x}}{ln {x}} = 1

\)

giusto??

[cooper1]

è corretto ma hai fatto esattamente quello che ti ho detto di fare. hai cioè raccolto la x dentro al logaritmo al numeratore e hai applicato le proprietà dei logaritmi. formalmente hai fatto questi passaggi:
$ lim_(x -> +oo) log(x(1+1/x))/log x= lim_(x -> +oo)(log x+ log(1+1/x))/log x $ e poichè il secondo logaritmo al numeratore tende a 0 hai trovato il valore del logaritmo.

[ipaxo]

"cooper":è corretto ma hai fatto esattamente quello che ti ho detto di fare. hai cioè raccolto la x dentro al logaritmo al numeratore e hai applicato le proprietà dei logaritmi. formalmente hai fatto questi passaggi:
$ lim_(x -> +oo) log(x(1+1/x))/log x= lim_(x -> +oo)(log x+ log(1+1/x))/log x $ e poichè il secondo logaritmo al numeratore tende a 0 hai trovato il valore del logaritmo.

Ho messo in evidenza come mi hai detto di fare, ma la proprietà del logaritmo è inutile!! basta osservare che per x che va all'infinito il secondo fattore fa 1. grazie.

[cooper1]