Limite di una funzione logaritmica
$ lim 1/log(2 + x)=0
x-->+ infinito
allora, io ho ragionato così:
log(2 + x) diverso da 0 quindi $ 2+ x ne 1$ e $ x ne -1 $ poi anche $2 + x >0 => x> -2$.
definita la funzione, deve essere
$ | 1/ log(2 + x) | < epsilon $
quindi faccio il reciproco
$ |log (2+x)| > 1/epsilon $
abbiamo supposto che il logaritmo sia sempre positivo, quindi tolgo il valore assoluto
$log( 2+x) > 1/epsilon $
$ e^log (2 + x) > e^(1/epsilon) $
$ 2 + x > e^(1/epsilon) $
$ x> e^(1/epsilon) -2 $
e poi? devo fare il sistema con le condizioni della funzione, oppure cosa?
x-->+ infinito
allora, io ho ragionato così:
log(2 + x) diverso da 0 quindi $ 2+ x ne 1$ e $ x ne -1 $ poi anche $2 + x >0 => x> -2$.
definita la funzione, deve essere
$ | 1/ log(2 + x) | < epsilon $
quindi faccio il reciproco
$ |log (2+x)| > 1/epsilon $
abbiamo supposto che il logaritmo sia sempre positivo, quindi tolgo il valore assoluto
$log( 2+x) > 1/epsilon $
$ e^log (2 + x) > e^(1/epsilon) $
$ 2 + x > e^(1/epsilon) $
$ x> e^(1/epsilon) -2 $
e poi? devo fare il sistema con le condizioni della funzione, oppure cosa?
Risposte
Ciao!
perdonami la domanda...ma stai cercando di verificare che quel limite fa 0 utilizzando la definizione?
perdonami la domanda...ma stai cercando di verificare che quel limite fa 0 utilizzando la definizione?
"AlessiettoRM_87":
Ciao!
perdonami la domanda...ma stai cercando di verificare che quel limite fa 0 utilizzando la definizione?
Suppongo di sì.
Nausicaa, diciamo che hai praticamente finito.
L'unico appunto che farei è qui:
"Nausicaa91":
$|log (2+x)| > 1/epsilon $
abbiamo supposto che il logaritmo sia sempre positivo, quindi tolgo il valore assoluto
$log( 2+x) > 1/epsilon $
Non l'abbiamo supposto da nessuna parte, almeno io non lo leggo. Certo, però, la cosa si può fare perchè in un intorno di $+oo$ (precisamente $x> -1$) il logaritmo è positivo (ripeto, il passaggio è giusto ma va giustificato in maniera rigorosa: non è che il logaritmo, dove esiste, è positivo!). Quindi è corretto togliere il modulo. Il resto è giusto e ti porta alla conclusione corretta: hai trovato $x>e^(1/epsilon)-2$. Se vuoi proprio essere fine, dici: chiamo $M=max(-1,e^(1/epsilon)-2)=e^(1/epsilon)-2$ ($-1$ l'abbiamo scritto prima perchè il log fosse positivo).
Evidentemente, $(M, +oo)$ rappresenta proprio un intorno di più infinito, per cui il limite resta verificato.
Chiaro?
P.S. Mi sono permesso, con i miei nuovi poteri da mod, di sistemare una cosetta tipografica nel tuo post: nulla di che, avevi solo messo un dollaro di troppo
grazie mille!
si hai ragione, che errore imbarazzante! XD Se il logaritmo esiste, non vuol dire che sia positivo!
Quindi tolgo il valore assoluto perchè do a x valori tendenti ad infinito ed io so che il logartimo è positivo per $ x> -1 $, quindi per un intorno di più infinito.
Giusto, è così?
si hai ragione, che errore imbarazzante! XD Se il logaritmo esiste, non vuol dire che sia positivo!
Quindi tolgo il valore assoluto perchè do a x valori tendenti ad infinito ed io so che il logartimo è positivo per $ x> -1 $, quindi per un intorno di più infinito.
Giusto, è così?
Sì, è corretto.
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