Limite di una funzione e retta tangente
Salve, vorrei chiedervi come procedere nel seguente quesito a risposta multipla:
Data la funzione unione $f(x) = {x +3 (con x<=0) e ln(x+1) (con x>0)$ si può affermare che:
1) è continua ma non derivabile in x = 0
2) presenta in x = 0 un punto di discontinuità eliminabile
3) presenta in x = 0 un punto di salto
4) presenta in x = 0 un asintoto verticale
Ho escluso la prima risposta in quanto la funzione è derivabile in x = 0, per verificare le altre tre risposte ho bisogno di svolgere il limite nel punto estremo non incluso nel dominio (x > -1):
I due limiti per x che tende a $-1^+$ e $-1^-$ presentano però un argomento nullo. Il mio dubbio è proprio questo, quanto vale il limite in questo caso?
L'altro dubbio riguarda in quesito che mi chiede di trovare la retta tangente al grafico della funzione $y = x^4$ nel punto di ascissa x = 1.
Ho applicato la formula del fascio di rette dopo aver calcolato la derivata prima della funzione: $f'(x) = 4x^3$ e $f(1) = 1^4 = 1$
da cui: $y - y0 = f'(x) * (x-x0)$ = $y - 1 = 4x^3(x-1)$ = $y = 4x^4 - 4x^3 +1$.
Qualcosa non quadra
Data la funzione unione $f(x) = {x +3 (con x<=0) e ln(x+1) (con x>0)$ si può affermare che:
1) è continua ma non derivabile in x = 0
2) presenta in x = 0 un punto di discontinuità eliminabile
3) presenta in x = 0 un punto di salto
4) presenta in x = 0 un asintoto verticale
Ho escluso la prima risposta in quanto la funzione è derivabile in x = 0, per verificare le altre tre risposte ho bisogno di svolgere il limite nel punto estremo non incluso nel dominio (x > -1):
I due limiti per x che tende a $-1^+$ e $-1^-$ presentano però un argomento nullo. Il mio dubbio è proprio questo, quanto vale il limite in questo caso?
L'altro dubbio riguarda in quesito che mi chiede di trovare la retta tangente al grafico della funzione $y = x^4$ nel punto di ascissa x = 1.
Ho applicato la formula del fascio di rette dopo aver calcolato la derivata prima della funzione: $f'(x) = 4x^3$ e $f(1) = 1^4 = 1$
da cui: $y - y0 = f'(x) * (x-x0)$ = $y - 1 = 4x^3(x-1)$ = $y = 4x^4 - 4x^3 +1$.
Qualcosa non quadra
Risposte
Non capisco: dici che è derivabile in $x=0$ ma allora lì è continua quindi tutte e quattro le risposte sarebbero false ...
Rivedi un attimo il tuo ragionamemto iniziale ...
Rivedi un attimo il tuo ragionamemto iniziale ...
Ma anche senza fare alcun limite, disegna il grafico e ti sarà tutto più chiaro. Attenzione però, la funzione non è continua in 0 e di conseguenza non è neppure derivabile.
Per la seconda, non devi usare la funzione derivata prima nella formula del fascio, ma la funzione derivata prima calcolata nel punto di tangenza. Quindi in questo caso $f'(1)$. Ricorda bene il significato geometrico di derivata.
Per la seconda, non devi usare la funzione derivata prima nella formula del fascio, ma la funzione derivata prima calcolata nel punto di tangenza. Quindi in questo caso $f'(1)$. Ricorda bene il significato geometrico di derivata.
Grazie mille, ho capito l'errore nel secondo quesito. Per quanto riguarda il primo non capisco perché la funzione non sia continua in x = 0. Potresti togliermi anche questo dubbio?
Beh, in $x=0$ il primo "pezzo" della funzione vale $3$, il secondo vale $0$ (in teoria qui dovresti calcolarne il limite ma essendo la funzione $ln(x+1)$ definita in zero, basta calcolarne il valore in quel punto)
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