Limite di una funzione

[Eneru2]

Ciao a tutti vorrei sapere come posso fare a risolvere questo limite:
\[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \alpha } \frac{cos\alpha -cosx}{sin(\alpha -x)} \]

Il mio procedimento era quello di usare le formule di prostaferesi e poi non sono sicuro ma ho provato ad usare anche la formula della sottrazione e mi è uscito:
\[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \alpha } \frac{-2sin\frac{\alpha+x}{2}sin\frac{\alpha-x}{2}}{sin(\alpha -x)} \]
\[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \alpha } \frac{-2sin\frac{\alpha+x}{2}sin\frac{\alpha-x}{2}}{sin\alpha cosx-cos\alpha sinx} \]
Dopo questo però non so più come andare avanti.
Il risultato è: \(\displaystyle [-sin\alpha] \)

Grazie in anticipo.

[Pierlu11]

Prova a sostituire $ t=alpha-x $ e calcolare quindi $ lim_(t->0)(cosalpha-cos(alpha-t))/(sint)=lim_(t->0)(cosalpha-cos(alpha-t))/(sint)t/t $ $ =lim_(t->0)(cosalpha-cos(alpha-t))/(t)(t)/(sint)=lim_(t->0)(cosalpha-(costcosalpha+sintsinalpha))/(t)(t)/(sint)=... $
(se hai fatto le derivate la soluzione è banale dal penultimo passaggio che ho scrtitto, altrimenti vai avanti usando i limiti notevoli...)

[giammaria2]

Oppure, più rapidamente, a denominatore usa la formula di duplicazione:

$sen (alpha-x)=sen (2*(alpha-x)/2)=2sen(alpha-x)/2c os(alpha-x)/2$
e puoi semplificare.

[Eneru2]

Grazie mille a tutti e due sono riuscito a risolverlo in entrambi i modi, però mi sa Pierlu11 che hai sbagliato a scrivere il primo passaggio del numeratore, perchè se si usa \(\displaystyle t = \alpha -x \) allora nel secondo coseno al numeratore avresti dovuto scrivere \(\displaystyle cos(\alpha -t) \) anziché \(\displaystyle cos(t+\alpha) \)

[Pierlu11]

Si, hai ragione