Limite di radice all'infinito

[cavarzeran]

Ho un dubbio sul seguente limite, il cui risultato nelle schede è: $ (3/2) $ :

$ lim_(x -> -oo) (root()(x^2 -3x+2) + x) $
Ho risolto così:
$ lim_(x -> -oo) (root()(x^2(1-3/x+2/x^2))+x) $
E, facendo tendere la x all'infinito...
$ (root()((-oo)^2(1-0+0))-oo) $ = $ -oo - oo $ = $ -oo $
che non è la soluzione corretta. Ho provato anche altri metodi ma non ne vengo proprio fuori...
Esiste qualche tecnica che mi sfugge?
Ho controllato anche i limiti notevoli ma non mi sembra ci sia nulla al riguardo.

Grazie!

[Lo_zio_Tom]

L'espressione di cui devi calcolare il limite ha una radice?

Se sì, razionalizza!

Ricorda che $sqrt(x^2)=|x|$

quindi come hai fatto tu (facendo correttamente i conti) ottieni ancora la medesima forma indeterminata da cui sei partito: in pratica non hai ancora tolto l'espressione che rende il limite indeterminato


EDIT: jamm' ja che sono due passaggi ....

[cavarzeran]

Continuo a non capire:

$ lim_(x -> -oo)(|x|root()(1-3/x+2/x^2) + x) $
e, anche supponendo che $ |x| = -x $ visto che tende a $ - oo $...
$ lim_(x -> -oo)(x-xroot()(1-3/x+2/x^2)) = [oo-oo] $
che continua ad essere forma indeterminata.
Raccogliendo la x, invece...
$ lim_(x -> -oo)x(1-root()(1-3/x+2/x^2)) = [-oo \cdot 0] $
Stessa storia

[Lo_zio_Tom]

Primo comandamento: se il limite è indeterminato e c'è una radice, toglila!

$[sqrt(x^2-3x+2)+x][sqrt(x^2-3x+2)-x]/[sqrt(x^2-3x+2)-x]$


fai i conti (correttamente) ed avrai una gradita sorpresa....

[cooper1]

"erroreconcettuale":
$ lim_(x -> -oo)x(1-root()(1-3/x+2/x^2)) = [-oo \cdot 0] $
Stessa storia

anche senza razionalizzare, così da risparmiare conti, arrivati a quel punto il limite è immediato ricordando:
1. il limite notevole della radice
2. tra $3/x$ e $2/x^2$ conta il primo

[cavarzeran]

"tommik":$[sqrt(x^2-3x+2)+x][sqrt(x^2-3x+2)-x]/[sqrt(x^2-3x+2)-x]$

$ lim_(x -> -oo) (2-3x)/(-2x root()(1-3/x+2/x^2 $
$ lim_(x -> -oo) (-x(2/x-3))/(-2x root()(1-3/x+2/x^2 $
$ lim_(x -> -oo) (2/x-3)/(2 root()(1-3/x+2/x^2 $ $ = (0-3)/(-2 root()(1-0+0) $ $ = 3/2 $

Mezz'ora!!!

Grazie a tutti

[Lo_zio_Tom]

c'è pure qualche errore algebrico in mezzo.....

Ecco come andava svolto, dopo aver razionalizzato

$(-3x+2)/(|x|sqrt(1-3/x+2/x^2)-x)\stackrel("Raccolgo e semplifico"-x)rarr(3-2/x)/(sqrt(1-3/x+2/x^2)+1)rarr3/(1+1)=3/2$


comunque mezz'ora ben spesa. Ogni volta (in genere) che trovi un limite indeterminato con una o più radici basta razionalizzare che tutto si sistema in quanto è proprio quella radice che è stata inserita nell'espressione per renderla indeterminata.

saluti