Limite di funzione polinomiale
Ciao ragazzi, sto studiando le forme indeterminate nel calcolo dei limiti. Più precisamente la forma 0/0.
Considerata una funzione polinomiale fratta, il cui denominatore e numeratore sono infinitesimi per $x rarr 0$, per esempio:
$\lim_{x \to \0} (2x^4+x^2+5x)/(x^5+4x^3-x)$
perchè il limite di questa funzione può essere scritto come:
$\lim_{x \to \0}(5x)/(-x)$ ?
Ossia perchè i polinomi che tendono a 0 per $x rarr 0$ si comportano come il loro monomio di grado minore?
Grazie
Considerata una funzione polinomiale fratta, il cui denominatore e numeratore sono infinitesimi per $x rarr 0$, per esempio:
$\lim_{x \to \0} (2x^4+x^2+5x)/(x^5+4x^3-x)$
perchè il limite di questa funzione può essere scritto come:
$\lim_{x \to \0}(5x)/(-x)$ ?
Ossia perchè i polinomi che tendono a 0 per $x rarr 0$ si comportano come il loro monomio di grado minore?
Grazie
Risposte
Se si mette in evidenza $x$ dal numeratore e dal denominatore il limite diventa
$\lim_{x \to \0} (2x^4+x^2+5x)/(x^5+4x^3-x)=\lim_{x \to \0} (x(2x^3+x+5))/(x(x^4+4x^2-1))=\lim_{x \to \0} (2x^3+x+5)/(x^4+4x^2-1)$ dove è evidente che i termini che non tendono a zero sono solo quelli che nel testo erano i coefficienti dei monomi in $x$, mentre gli altri termini continuano a tendere a zero, questo significa che le potenze di $x$ con esponente superiore a 1 tendono a zero più velocemente della sola $x$.
Veramente il discorso sarebbe più generale
$\lim_{x \to \0} (root 3 x+2x)/(root5 x+5x)=0$ perché l'ordine di infinitesimo, rispetto all'infinitesimo principale x, è $1/3$ a numeratore e $1/5$ a denominatore e poiché $1/3>1/5$ il limite è infinitesimo e il risultato è 0.
$\lim_{x \to \0} (2x^4+x^2+5x)/(x^5+4x^3-x)=\lim_{x \to \0} (x(2x^3+x+5))/(x(x^4+4x^2-1))=\lim_{x \to \0} (2x^3+x+5)/(x^4+4x^2-1)$ dove è evidente che i termini che non tendono a zero sono solo quelli che nel testo erano i coefficienti dei monomi in $x$, mentre gli altri termini continuano a tendere a zero, questo significa che le potenze di $x$ con esponente superiore a 1 tendono a zero più velocemente della sola $x$.
Veramente il discorso sarebbe più generale
$\lim_{x \to \0} (root 3 x+2x)/(root5 x+5x)=0$ perché l'ordine di infinitesimo, rispetto all'infinitesimo principale x, è $1/3$ a numeratore e $1/5$ a denominatore e poiché $1/3>1/5$ il limite è infinitesimo e il risultato è 0.
Grazie per la risposta amelia! Però non sono sicuro di aver capito, dimmi se sbaglio:
$-$se l'esponente al numeratore è maggiore dell'esponente al denominatore, il limite è sempre 0.
esempio:
$\lim_{x \to \0} (2x^6+3x)/(x^5-x) =0$
Poichè $x^6$ tende più rapidamente verso lo zero e quindi è un infinitesimo di ordine superiore.
$-$se invece è il denominatore ad avere l'esponente maggiore devo mettere in evidenza la variabile con esponente minore, in modo da avere poi il coefficente libero e poter calcolare il limite.
Esempio:
$\lim_{x \to \0} (5x^4 +2x^2)/(x^7-x) =\lim_{x \to \0} (x(5x^3 +2x))/(x(x^6-1))=\lim_{x \to \0} (x(5x^2 +2))/(x(x^5-1/x))=0$
E' giusto?
$-$se l'esponente al numeratore è maggiore dell'esponente al denominatore, il limite è sempre 0.
esempio:
$\lim_{x \to \0} (2x^6+3x)/(x^5-x) =0$
Poichè $x^6$ tende più rapidamente verso lo zero e quindi è un infinitesimo di ordine superiore.
$-$se invece è il denominatore ad avere l'esponente maggiore devo mettere in evidenza la variabile con esponente minore, in modo da avere poi il coefficente libero e poter calcolare il limite.
Esempio:
$\lim_{x \to \0} (5x^4 +2x^2)/(x^7-x) =\lim_{x \to \0} (x(5x^3 +2x))/(x(x^6-1))=\lim_{x \to \0} (x(5x^2 +2))/(x(x^5-1/x))=0$
E' giusto?
Io mi fermerei a
$\lim_{x \to \0} (5x^4 +2x^2)/(x^7-x) =\lim_{x \to \0} (x(5x^3 +2x))/(x(x^6-1))$ perché dopo aver semplificato la $x$ il numeratore si annulla e il denominatore vale $-1$, e, come sai, $0/-1=0$
$\lim_{x \to \0} (5x^4 +2x^2)/(x^7-x) =\lim_{x \to \0} (x(5x^3 +2x))/(x(x^6-1))$ perché dopo aver semplificato la $x$ il numeratore si annulla e il denominatore vale $-1$, e, come sai, $0/-1=0$
"_Matteo_C":
esempio:
$\lim_{x \to \0} (2x^6+3x)/(x^5-x) =0$
Aspetta in questo caso c'è qualcosa che non va, questo limite non fa $0$..... perchè?
Dato che il limite tende a $0$ devi andare a considerare nel numeratore e nel denominatore i termini più "lenti", tralasciando gli altri che andranno a $0$ più velocemente e quindi non influiranno sul tuo limite, quindi:
$\lim_{x \to \0} (2x^6+3x)/(x^5-x) ~~\lim_{x \to \0} (3x)/(-x)=-3$
@melia:
Io mi fermerei a
$\lim_{x \to \0} (5x^4 +2x^2)/(x^7-x) =\lim_{x \to \0} (x(5x^3 +2x))/(x(x^6-1))$ perché dopo aver semplificato la $x$ il numeratore si annulla e il denominatore vale $-1$, e, come sai, $0/-1=0$
Si è vero, me ne sono accorto appena avevo mandato il messaggio!
lordmarcho:[/quote]
[quote=_Matteo_C]
Aspetta in questo caso c'è qualcosa che non va, questo limite non fa $0$..... perchè?
Dato che il limite tende a $0$ devi andare a considerare nel numeratore e nel denominatore i termini più "lenti", tralasciando gli altri che andranno a $0$ più velocemente e quindi non influiranno sul tuo limite, quindi:
$\lim_{x \to \0} (2x^6+3x)/(x^5-x) ~~\lim_{x \to \0} (3x)/(-x)=-3$
Ah ok.. quindi quando il numeratore è di grado maggiore (ed infinitesimo)devo giustamente considerare gli elementi che scendono più lentamente verso lo 0!
Grazie mille, dissipato ogni dubbio.. per ora![/quote]
E' un modo un pò rude però efficace, almeno per farti un'idea di massima:
1. Innanzitutto vai a vedere se il limite va a $0$ o a $infty$
2.a. Se il limite va a $0$ considera i termini più "lenti" (quindi di grado minore) che puoi trovare nel numeratore e denominatore e "tralascia" gli altri.
2.b. Se il limite va a $infty$ considera i termini più "veloci" (quindi di grado maggiore) che puoi trovare nel numeratore e denominatore e "tralascia" gli altri.
3. Considerati i giusti termini (lo dovresti aver fatto nel punto 2) confronta quel che ti rimane sopra e sotto la frazione:
Considerando il limite che va a $0$
a) Grado numeratore > Grado denominatore --> $0$
b) Grado numeratore = Grado denominatore --> Rapporto coefficienti
a) Grado numeratore < Grado denominatore --> $infty$
Considerando il limite che va a $infty$
a) Grado numeratore > Grado denominatore --> $infty$
b) Grado numeratore = Grado denominatore --> Rapporto coefficienti
a) Grado numeratore < Grado denominatore --> $0$
Il discorso è un pò semplificato in quanto si complicherebbe mettendo dentro funzioni trigonometriche, esponenziali o logaritmiche, però per non sentirti perso davanti a un limite di un polinomio.. è sufficiente credo!
1. Innanzitutto vai a vedere se il limite va a $0$ o a $infty$
2.a. Se il limite va a $0$ considera i termini più "lenti" (quindi di grado minore) che puoi trovare nel numeratore e denominatore e "tralascia" gli altri.
2.b. Se il limite va a $infty$ considera i termini più "veloci" (quindi di grado maggiore) che puoi trovare nel numeratore e denominatore e "tralascia" gli altri.
3. Considerati i giusti termini (lo dovresti aver fatto nel punto 2) confronta quel che ti rimane sopra e sotto la frazione:
Considerando il limite che va a $0$
a) Grado numeratore > Grado denominatore --> $0$
b) Grado numeratore = Grado denominatore --> Rapporto coefficienti
a) Grado numeratore < Grado denominatore --> $infty$
Considerando il limite che va a $infty$
a) Grado numeratore > Grado denominatore --> $infty$
b) Grado numeratore = Grado denominatore --> Rapporto coefficienti
a) Grado numeratore < Grado denominatore --> $0$
Il discorso è un pò semplificato in quanto si complicherebbe mettendo dentro funzioni trigonometriche, esponenziali o logaritmiche, però per non sentirti perso davanti a un limite di un polinomio.. è sufficiente credo!
Si lordmarcho hai ragione,ma mi sono espresso male, quello che ho detto lo intendevo per i limiti che hanno la forma indeterminata 0/0 e quindi con sia il numeratore che il denominatore infinitesimi!
Grazie mille per i chiarimenti
Grazie mille per i chiarimenti
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