Limite di esponenziale
Ciaoa tutti mi serve un consiglio su come conviene risolvere questo limite molto semplice $lim_(x->0^-) x*e^(-1/x)$...
allora provando viene $0^(-)e^(1/0^-)=0^(-)e^(+oo)= 0^(-)(+oo)$ dunque è una forma indeterminata io pensavo al De Hospital però non so non mi sempra molto conveniente oppure pensavo:
$lim_(x->0^-)x*e^(-1/x)$ lo poso scrivere come $lim_(x->0^-)e^(-1/x)/(1/x)=$ $(+oo)/-oo$ e non so come continuare...
allora provando viene $0^(-)e^(1/0^-)=0^(-)e^(+oo)= 0^(-)(+oo)$ dunque è una forma indeterminata io pensavo al De Hospital però non so non mi sempra molto conveniente oppure pensavo:
$lim_(x->0^-)x*e^(-1/x)$ lo poso scrivere come $lim_(x->0^-)e^(-1/x)/(1/x)=$ $(+oo)/-oo$ e non so come continuare...
Risposte
"domy90":
Ciaoa tutti mi serve un consiglio su come conviene risolvere questo limite molto semplice $lim_(x->0^-) x*e^(-1/x)$...
allora provando viene $0^(-)e^(1/0^-)=0^(-)e^(+oo)= 0^(-)(+oo)$ dunque è una forma indeterminata io pensavo al De Hospital però non so non mi sempra molto conveniente oppure pensavo:
$lim_(x->0^-)x*e^(-1/x)$ lo poso scrivere come $lim_(x->0^-)e^(-1/x)/(1/x)=$ $(+oo)/-oo$ e non so come continuare...
Per vedere meglio le cose farei un cambio di variabile [tex]$t = - \frac{ 1}{x}$[/tex]. Poi basta tener presente ciò che ti hanno insegnato sugli ordini di infinito (oppure applicare De L'Hospital)...
sostituendo per $t=-1/x$ si ha che per $x->0^-$, $t->+oo$ e mi viene: $lim_(t->+oo)e^t/-t=$ $lim_(t->+oo)-e^t/t$ confrontando gli ordini di infiniti $e^t $ è si ordine superiore a $t$ quindi il limite è dato dalla sola $e^t$:
$lim_(t->+oo)-e^t=-oo$...
col De Hospital mi esce: $D (e^(-1/x))/(1/x)=(e^(-1/x)*1/x^2*1/x+e^(-1/x)*1/(x^2))/(1/x^2)= $ $(e^(-1/x)*1/x^3+e^(-1/x)*1/(x^2))/(1/x^2)=$ $(e^(-1/x)*1/(x^2)*(1/x+1))/(1/(x^2))=$ $(e^(-1/x)*1/(x^2)*((1+x)/x))/(1/(x^2))=$ $e^(-1/x)*((1+x)/x)$ che pessando al limite viene:
$lim_(x->0^-)e^(-1/x)*((1+x)/x)=$ $lim_(x->0^-)e^(1/(0^+))*(-1/0^+)=$ $-e^(+oo)=-oo$, se è tutto corretto...
$lim_(t->+oo)-e^t=-oo$...
col De Hospital mi esce: $D (e^(-1/x))/(1/x)=(e^(-1/x)*1/x^2*1/x+e^(-1/x)*1/(x^2))/(1/x^2)= $ $(e^(-1/x)*1/x^3+e^(-1/x)*1/(x^2))/(1/x^2)=$ $(e^(-1/x)*1/(x^2)*(1/x+1))/(1/(x^2))=$ $(e^(-1/x)*1/(x^2)*((1+x)/x))/(1/(x^2))=$ $e^(-1/x)*((1+x)/x)$ che pessando al limite viene:
$lim_(x->0^-)e^(-1/x)*((1+x)/x)=$ $lim_(x->0^-)e^(1/(0^+))*(-1/0^+)=$ $-e^(+oo)=-oo$, se è tutto corretto...
Due precisazioni:
1)
Questo, secondo me, non è del tutto corretto. La [tex]$t$[/tex] a denominatore "contribuisce", ma non a sufficienza per portare il limite a [tex]$0$[/tex]. Quindi il risultato è [tex]$- \infty$[/tex] però [tex]$\lim_{t \to + \infty} - e^t$[/tex] non è il tuo limite. Non puoi liberarti della [tex]$t$[/tex].
2) Perché De L'Hospital lo applichi senza il cambio di variabile che ti ho consigliato? Ti risparmi un bel po' di conti (quasi tutti).
1)
$e^t $ è si ordine superiore a $t$ quindi il limite è dato dalla sola $e^t$:
$lim_(t->+oo)-e^t=-oo$...
Questo, secondo me, non è del tutto corretto. La [tex]$t$[/tex] a denominatore "contribuisce", ma non a sufficienza per portare il limite a [tex]$0$[/tex]. Quindi il risultato è [tex]$- \infty$[/tex] però [tex]$\lim_{t \to + \infty} - e^t$[/tex] non è il tuo limite. Non puoi liberarti della [tex]$t$[/tex].
2) Perché De L'Hospital lo applichi senza il cambio di variabile che ti ho consigliato? Ti risparmi un bel po' di conti (quasi tutti).
quindi questa scrittura $lim_(x->+oo)-e^(t)$ è sbagliata??? come posso scrivere per evidenziare il fatto che non contribuisce? con gli "o piccoli" e gli "O grande", giusto???
pensavo che ti riferivi ai calcoli normali senza la variabile...
"Seneca":
2) Perché De L'Hospital lo applichi senza il cambio di variabile che ti ho consigliato? Ti risparmi un bel po' di conti (quasi tutti).
pensavo che ti riferivi ai calcoli normali senza la variabile...
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