Limite della funzione..chiarimenti

LucaSaccoRoma
Ragazzi..mi sono bloccato ragionando su un esercizio che chiede il grafico probabile della funzione $ y=ln(1-x)/x $ .
x=0 quindi è un punto di discontinuità,ma non riesco a calcolarlo e a vedere di che tipo di discontinuità si tratta!
Sono molto incerto su queste cose.. :cry:

Risposte
Fregior
Se conosci i metodi di Taylor o De L'Hopital non c'è bisogno di ricordarsi il limite notevole seguente, in caso contrario rammenta:
$lim_(x to 0) ln(1+x)/x=1$
(nel caso più generale: $lim_(f(x) to 0) ln(1+f(x))/f(x)=1$)

nel tuo caso potresti porre $t=-x$
ottieni:
$lim_(t to 0) ln(1+t)/-t$

Riesci a vedere la soluzione?

LucaSaccoRoma
Perfetto! Ho capito perfettamente!! Grazie mille :)

Summerwind78
Ciao


se tu fai il limite della tua funzione così com'è per $x->0$ ottieni $0/0$ ovvero una cosiddetta "forma indeterminata"

facciamo quindi una prima considerazione:

la tua funzione è data dal rapporto di due funzioni

$f(x) = g(x)/(h(x)) = ln(1-x)/x$

quindi definiamo
$g(x) = ln(1-x)$
$h(x) = x$

sia $g(x)$ che $h(x)$ sono funzioni continue.

quindi il limite che tu devi calcolare è il limite di un rapporto di due funzioni continue.
Siccome sono continue puoi usare la regola "de l'Hopital" che dice

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{ g'(x)}{h'(x)}[/tex]

calcoliamo quindi le derivate del numeratore e del denominatore

$g(x) = ln(1-x) -> g'(x) = 1/(x-1)$
$h(x) = x -> h'(x) = 1$

quindi

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ g'(x)}{h'(x)} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \frac{1}{x-1}}{1} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x-1}=-1[/tex]

spero di esserti stato di aiuto

LucaSaccoRoma
Siccome non ho fatto ancora le derivate..ho posto -x=t e alla fine mi vengono:
$ lim_(t ->0- ) ln(1+t)/-t=-1 $ e
$ lim_(t ->0+) ln(1+t)/-t=-1 $ Giusto? Quindi è di terza specie la discontinuità ?

Fregior
Sì i limiti son giusti e la discontinuità è di terza specie (eliminabile).

LucaSaccoRoma
Scusami Fregior ma se poi io devo andare a cercare gli asintoti..devo:
per cercare asintoto orizzontale devo fare
$ lim_(x -> oo ) ln(1-x)/x $ e il valore che viene è l'asintoto

mentre per quello verticale devo fare
$ lim_(x ->1 ) ln(1-x)/x $ e se viene infinito la retta x=1 è asintoto

Io non riesco a svolgere questi limiti,mi potete aiutare? :?

Fregior
Ricorda sempre che puoi fare i limiti solo per i punti di accumulazione, detto intuitivamente devi muoverti nel dominio. Ad esempio non puoi fare $lim_(x to - \infty) ln(x)$ poiché $ln(x)$ non è definito per $x\leq0$ che senso ha vedere come si comporta a $-\infty$ se non è definito?

Il primo limite è per $x to - \infty$ e ti viene $y=0$ (chi corre più veloce tra $ln(1-x)$ e $x$? se non hai fatto il confronto asintotico dillo e ti chiariamo questo punto ) e per l'altro asintoto riesci a capire cosa succede?

LucaSaccoRoma
Non ho fatto il confronto asintotico..! Come lo svolgo allora il primo limite?

Fregior
Guarda, ti dico subito quello che ti servirà in futuro (e lo farai a breve):
<>
Cioè:
$lim_(x to +\infty) x^n/(log_an)=+\infty ; \forall a>1, n>0$

Questo implica che $lim_(x to +\infty) (log_an)/x^n=0$ che è proprio il tuo caso (con $a=e, n=1$)

Se non hai capito basta che ti ricordi(per il momento, ma lo studierai veramente tra poco) : "il logaritmo cresce più lentamente di una funzione monomiale" e sai che il logaritmo va a infinito "più debolmente" del monomio.

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