Limite della funzione..chiarimenti
Ragazzi..mi sono bloccato ragionando su un esercizio che chiede il grafico probabile della funzione $ y=ln(1-x)/x $ .
x=0 quindi è un punto di discontinuità,ma non riesco a calcolarlo e a vedere di che tipo di discontinuità si tratta!
Sono molto incerto su queste cose..
x=0 quindi è un punto di discontinuità,ma non riesco a calcolarlo e a vedere di che tipo di discontinuità si tratta!
Sono molto incerto su queste cose..
Risposte
Se conosci i metodi di Taylor o De L'Hopital non c'è bisogno di ricordarsi il limite notevole seguente, in caso contrario rammenta:
$lim_(x to 0) ln(1+x)/x=1$
(nel caso più generale: $lim_(f(x) to 0) ln(1+f(x))/f(x)=1$)
nel tuo caso potresti porre $t=-x$
ottieni:
$lim_(t to 0) ln(1+t)/-t$
Riesci a vedere la soluzione?
$lim_(x to 0) ln(1+x)/x=1$
(nel caso più generale: $lim_(f(x) to 0) ln(1+f(x))/f(x)=1$)
nel tuo caso potresti porre $t=-x$
ottieni:
$lim_(t to 0) ln(1+t)/-t$
Riesci a vedere la soluzione?
Perfetto! Ho capito perfettamente!! Grazie mille 
Ciao
se tu fai il limite della tua funzione così com'è per $x->0$ ottieni $0/0$ ovvero una cosiddetta "forma indeterminata"
facciamo quindi una prima considerazione:
la tua funzione è data dal rapporto di due funzioni
$f(x) = g(x)/(h(x)) = ln(1-x)/x$
quindi definiamo
$g(x) = ln(1-x)$
$h(x) = x$
sia $g(x)$ che $h(x)$ sono funzioni continue.
quindi il limite che tu devi calcolare è il limite di un rapporto di due funzioni continue.
Siccome sono continue puoi usare la regola "de l'Hopital" che dice
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{ g'(x)}{h'(x)}[/tex]
calcoliamo quindi le derivate del numeratore e del denominatore
$g(x) = ln(1-x) -> g'(x) = 1/(x-1)$
$h(x) = x -> h'(x) = 1$
quindi
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ g'(x)}{h'(x)} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \frac{1}{x-1}}{1} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x-1}=-1[/tex]
spero di esserti stato di aiuto
se tu fai il limite della tua funzione così com'è per $x->0$ ottieni $0/0$ ovvero una cosiddetta "forma indeterminata"
facciamo quindi una prima considerazione:
la tua funzione è data dal rapporto di due funzioni
$f(x) = g(x)/(h(x)) = ln(1-x)/x$
quindi definiamo
$g(x) = ln(1-x)$
$h(x) = x$
sia $g(x)$ che $h(x)$ sono funzioni continue.
quindi il limite che tu devi calcolare è il limite di un rapporto di due funzioni continue.
Siccome sono continue puoi usare la regola "de l'Hopital" che dice
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{ g'(x)}{h'(x)}[/tex]
calcoliamo quindi le derivate del numeratore e del denominatore
$g(x) = ln(1-x) -> g'(x) = 1/(x-1)$
$h(x) = x -> h'(x) = 1$
quindi
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ g'(x)}{h'(x)} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \frac{1}{x-1}}{1} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x-1}=-1[/tex]
spero di esserti stato di aiuto
Siccome non ho fatto ancora le derivate..ho posto -x=t e alla fine mi vengono:
$ lim_(t ->0- ) ln(1+t)/-t=-1 $ e
$ lim_(t ->0+) ln(1+t)/-t=-1 $ Giusto? Quindi è di terza specie la discontinuità ?
$ lim_(t ->0- ) ln(1+t)/-t=-1 $ e
$ lim_(t ->0+) ln(1+t)/-t=-1 $ Giusto? Quindi è di terza specie la discontinuità ?
Sì i limiti son giusti e la discontinuità è di terza specie (eliminabile).
Scusami Fregior ma se poi io devo andare a cercare gli asintoti..devo:
per cercare asintoto orizzontale devo fare
$ lim_(x -> oo ) ln(1-x)/x $ e il valore che viene è l'asintoto
mentre per quello verticale devo fare
$ lim_(x ->1 ) ln(1-x)/x $ e se viene infinito la retta x=1 è asintoto
Io non riesco a svolgere questi limiti,mi potete aiutare?
per cercare asintoto orizzontale devo fare
$ lim_(x -> oo ) ln(1-x)/x $ e il valore che viene è l'asintoto
mentre per quello verticale devo fare
$ lim_(x ->1 ) ln(1-x)/x $ e se viene infinito la retta x=1 è asintoto
Io non riesco a svolgere questi limiti,mi potete aiutare?
Ricorda sempre che puoi fare i limiti solo per i punti di accumulazione, detto intuitivamente devi muoverti nel dominio. Ad esempio non puoi fare $lim_(x to - \infty) ln(x)$ poiché $ln(x)$ non è definito per $x\leq0$ che senso ha vedere come si comporta a $-\infty$ se non è definito?
Il primo limite è per $x to - \infty$ e ti viene $y=0$ (chi corre più veloce tra $ln(1-x)$ e $x$? se non hai fatto il confronto asintotico dillo e ti chiariamo questo punto ) e per l'altro asintoto riesci a capire cosa succede?
Il primo limite è per $x to - \infty$ e ti viene $y=0$ (chi corre più veloce tra $ln(1-x)$ e $x$? se non hai fatto il confronto asintotico dillo e ti chiariamo questo punto ) e per l'altro asintoto riesci a capire cosa succede?
Non ho fatto il confronto asintotico..! Come lo svolgo allora il primo limite?
Guarda, ti dico subito quello che ti servirà in futuro (e lo farai a breve):
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Cioè:
$lim_(x to +\infty) x^n/(log_an)=+\infty ; \forall a>1, n>0$
Questo implica che $lim_(x to +\infty) (log_an)/x^n=0$ che è proprio il tuo caso (con $a=e, n=1$)
Se non hai capito basta che ti ricordi(per il momento, ma lo studierai veramente tra poco) : "il logaritmo cresce più lentamente di una funzione monomiale" e sai che il logaritmo va a infinito "più debolmente" del monomio.
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Cioè:
$lim_(x to +\infty) x^n/(log_an)=+\infty ; \forall a>1, n>0$
Questo implica che $lim_(x to +\infty) (log_an)/x^n=0$ che è proprio il tuo caso (con $a=e, n=1$)
Se non hai capito basta che ti ricordi(per il momento, ma lo studierai veramente tra poco) : "il logaritmo cresce più lentamente di una funzione monomiale" e sai che il logaritmo va a infinito "più debolmente" del monomio.
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