Limite del logaritmo

[michele.assirelli]

Buongiorno,

qualcuno può darmi una indicazione su come avvenga questo passaggio

$\lim_{x \to \+∞} ln(e^(ln(e^x+1)-|x|)) = \lim_{x \to \+∞} ln(e^(-x) +1)$

[BayMax1]

Ciao @Wep !

Guarda, i passaggi intermedi dovrebbero essere i seguenti:

$lim_(x -> +infty)ln(e^(ln(e^x+1)-|x|))=lim_(x -> +infty)ln(e^(ln(e^x+1))/e^|x|)=lim_(x -> +infty)ln((e^x+1)/e^x)$ dove, nell'ultimo passaggio, ho usato, al numeratore, le proprietà dei logaritmi e al denominatore ho tolto il modulo in quanto $x->+infty$. Dunque si ha:
$lim_(x -> +infty)ln(1+e^(-x))$.

Spero di esserti stato d'aiuto. Per altri dubbi non esitare a chiedere.

Saluti

BayMax

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

\( x \) tende ad infinito quindi puoi supporlo positivo. Pertanto con \( x >0 \) abbiamo che \( \left| x \right| = x \) pertanto:
\[ \ln(e^{\ln(e^x+1)-x}) \overset{\text{(1)}}{=} (\ln(e^x+1)-x)\ln(e) \overset{\text{(2)}}{=}\ln(e^x+1)-x \overset{\text{(3)}}{=}\ln(e^x+1)-x\ln(e) = ... \]
Prova a continuare
dove l'uguaglianza (1) arriva dalle proprietà dei logaritmi.
Mentre le uguaglianze (2) e (3) arrivano dal fatto che \( \ln(e)=1 \).

edit: oppure puoi fare come BayMax

[michele.assirelli]

Perfetto, grazie mille ad entrambi