Limite da risolvere con de l'hopital

[fra17]

nn so risolvere questo limite

lim {1/x * log[(e^x-1)/x]} = ?
x->+infinito

[xico87]

te ne ha risolta una praticamente uguale ciampax ieri, il metodo è sempre lo stesso

[math] \lim_{x \to + \infty} \frac 1x \, \ln{ \frac{e^x-1}{x} =
\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln{ \frac{e^x-1}{x}}}{x} [/math]

che è una forma infinito/infinito

ora usi l'hopital e hai fatto

[fra17]

fin qui c'ero anche io. ma come si fa la derivata di log [(e^x-1)/x] ?

[xico87]

è una funzione composta.
(x/(e^x-1))*D[(e^x-1)/x] = (x/(e^x-1))*(xe^x - (e^x-1))/x^2

[fra17]

scusa ma nn mi ridà...deve venire 1

[ciampax]

Vediamo un pò:

[math]\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln\frac{e^x - 1}{x}}{x}=
\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln(e^x-1)-\ln x}{x}=[/math]

usando de l'Hopital

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{e^x}{e^x-1}-\frac{1}{x}\right)=1[/math]

in quanto la seconda frazione va a zero mentre la prima va a

[math]e^x/e^x=1[/math]

.

[xico87]

ciampax ma sono l'unico che non capisce quello che hai scritto? te lo giuro, non lo capisco. cmq fra17, dalla mia risultava esattamente quello che ha scritto:

D ln(e^x-1)/x = [vedi sopra] = 1/(e^x-1)*(xe^x - e^x-1)/x

da cui quello che ha scritto ciampax, svolgendo alcune operazioni algebriche

[ciampax]

Sorry, digitato uno schifo! Ho corretto!

[xico87]

ahhhhhh che scemo, così era più semplice da derivare! ne sai una più del diavolo
:anal