Limite da risolvere con de l'hopital (24846)

[fra17]

lim [tgx (1-tg(x/2))]
x->pgreco/2

grazie

[Cherubino]

De L'Hopital funziona con forme indeterminate del tipo

[math]\infty/ \infty[/math]

o

[math]0/0[/math]

.
Riscrivi la funzione come

[math]\frac {\tan x}{ \frac 1 {1 - \tan {(x/2)}}}[/math]

e deriva numeratore e denominatore....

[ciampax]

Io la trasformerei così:

[math]\tan x\left(1-\tan(x/2)\right)=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\left(1-\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}\right)=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos(x/2)-\sin(x/2)}{\cos(x/2)}[/math]

e poiché

[math]\sin x\rightarrow 1,\quad \cos(x/2)\rightarrow 1/\sqrt{2}[/math]

per

[math]x\rightarrow\pi/2[/math]

, ottieni il limite (nella forma indeterminata 0/0)

[math]\lim_{x\rightarrow\pi/2}\tan x\left(1-\tan(x/2)\right)=
\lim_{x\rightarrow\pi/2}\sqrt{2}\cdot\frac{\cos(x/2)-\sin(x/2)}{\cos x}=[/math]

applicando de l'Hopital

[math]\lim_{x\rightarrow\pi/2}\sqrt{2}\cdot\frac{(-1/2)\left(\sin(x/2)+\cos(x/2)\right)}{-\sin x}=\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot(-1)=1[/math]

che è il risultato.