Limite da dimostrare, per x che va all'infinito.
Ciao! Non esco da un problemino sui limiti, grato a chiunque mi dia una dritta, grazie! Il testo è il seguente.
Si dimostri che è
$ lim_(x -> ∞)[(x^2+1)/(x^2-1)]^(x^2)=e^2 $
sapendo che
$ lim_(x -> ∞)(1+1/x)^x=e $
e che se è
$ lim_(x -> c)f(x)=l $ e $ lim_(x -> c)g(x)=m $
allora
$ lim_(x -> c)(f(x))^g(x)=l^m $ .
Io ho provato un po' di cose; ho posto $ t=x^2 $ , e se $ x -> ∞ $ allora $ t -> ∞ $ , e quindi ho provato a risalire al limite fondamentale, ma mi esce $ (e^2)^∞ $ . Ho provato con De L'Hospital, senza cambiare variabile, ma il limite risulta ∞ invece che $ e^2 $ . Credo però che siano metodi validi, quindi qualcuno mi potrebbe dire dove sbaglio? Se invece c'è qualcosa di più semplice e logico da fare, ringrazio sentitamente chi me lo segnali. Grazie mille!!
Si dimostri che è
$ lim_(x -> ∞)[(x^2+1)/(x^2-1)]^(x^2)=e^2 $
sapendo che
$ lim_(x -> ∞)(1+1/x)^x=e $
e che se è
$ lim_(x -> c)f(x)=l $ e $ lim_(x -> c)g(x)=m $
allora
$ lim_(x -> c)(f(x))^g(x)=l^m $ .
Io ho provato un po' di cose; ho posto $ t=x^2 $ , e se $ x -> ∞ $ allora $ t -> ∞ $ , e quindi ho provato a risalire al limite fondamentale, ma mi esce $ (e^2)^∞ $ . Ho provato con De L'Hospital, senza cambiare variabile, ma il limite risulta ∞ invece che $ e^2 $ . Credo però che siano metodi validi, quindi qualcuno mi potrebbe dire dove sbaglio? Se invece c'è qualcosa di più semplice e logico da fare, ringrazio sentitamente chi me lo segnali. Grazie mille!!
Risposte
Si ha
$(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2-1+2)/(x^2-1)=1+2/(x^2-1)$
e quindi la sostituzione giusta è $t=(x^2-1)/2<=>x^2=2t-1$. Ora continua tu.
$(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2-1+2)/(x^2-1)=1+2/(x^2-1)$
e quindi la sostituzione giusta è $t=(x^2-1)/2<=>x^2=2t-1$. Ora continua tu.
Grazie, grazie, grazie, ne sono uscito 
. Comunque credo $ x^2=2t+1 $, e viene preciso. Grazie ancora. Ciao!
. Comunque credo $ x^2=2t+1 $, e viene preciso. Grazie ancora. Ciao!
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