Limite da calcolare

[ardimentoso]

Salve a tutti.Sono al mio primo post.

Vengo subito al sodo: devo verificare che il

lim per x che tende a zero della seguente funzione:

[e^(1/arctg^2x)+senx]/[e^(1/x^2)+cosx]

vale e^(2/3).
Spero sia chiara la funzione!
Al numeratore l'arcotangente è elevato al quadrato e la x è l'argomento dell'arcotangente.

Grazie a quanti vorranno indicarmi quali passaggi effettuare per dimostrare il limite.

Ardimentoso

[giacor86]

siccome mi viene un inf/inf ho provato con de l'hopital, ma è servito a poco... ha solo peggiorato le cose.. non saprei

[_prime_number]

Anche io... Intanto come prima indicazion ti direi di sbarazzarti di quel sen(x)... Se tu separi dal resto il sen(x)/[denominatore] che va a 0 già un pelo si seplifica..

De L'Hopital è inutile qui... Io ho provato ad usare gli sviluppi di Taylor però alla fien mi viene che il limite fa 1 quindi c'è qualcosa che sbaglio..

Sinceramente non saprei da che altra parte farmi...

Paola

[Sk_Anonymous]

E' abbastanza facile; il numeratore e' asintotico ad e^(1/arctan^2x), mentre il denominatore e' asintotico ad e^(1/x^2). Resta quindi e elevato al limite della differenza degli esponenti. Ora il denominatore del nuovo esponente e' asintotico ad x^4. Su quest'ultima espressione bastano due colpi di de l'Hopital per avere come risultato 2/3.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[_prime_number]

Riesce sempre a fare tutto, grrr [:P]

Scusa Luca ma dici che quello che ottieni è asintotico a x^4 perchè approssimi (arctangx)^2 a x^2 + o(x^2) ?

Paola

[ardimentoso]

Grazie, mi avete risolto un bell'esercizio.
A presto

Ardimentoso

[Sk_Anonymous]

No, non uso Taylor. Uso i confronti asintotici noti, che in tal caso dicono che arctan x /x tende a 1 per x che tende a 0, per cui rimpiazzo x al posti di arctan x.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Principe2]

le finezze di Luca....