Limite con valori assoluti
mi è stato assegnato questo limite.
$lim_[x\to\infty](|-x^4+x-1|-|2*x+x^4|)/(x-3*sqrt(x))
che è una forma indeterminata.
"risolvendo" i valori assoluti al numeratore, ottengo, salvo errori le due funzioni:
$(-3*x+1)/(x-3*sqrt(x))$ che mi darebbe come limite -3
e
$(2*x^4+x+1)/(x-3*sqrt(x))$ che mi darebbe infinito.
ma non sono del tutto certo del calcolo.
Qualche geniaccio in linea mi potrebbe confortare? grazie
$lim_[x\to\infty](|-x^4+x-1|-|2*x+x^4|)/(x-3*sqrt(x))
che è una forma indeterminata.
"risolvendo" i valori assoluti al numeratore, ottengo, salvo errori le due funzioni:
$(-3*x+1)/(x-3*sqrt(x))$ che mi darebbe come limite -3
e
$(2*x^4+x+1)/(x-3*sqrt(x))$ che mi darebbe infinito.
ma non sono del tutto certo del calcolo.
Qualche geniaccio in linea mi potrebbe confortare? grazie
Risposte
Penso basti dividere numeratore e denominatore per $x^4$, ma non ci metterei la mano sul fuoco.
Il limite è per $x$ che tende a più o a meno infinito?
Credo sia la stessa cosa, tanto i termini di quarto grado sono in valore assoluto e tutto il resto una volta diviso per $x^4$ tende a 0...
$lim_[x\to\infty](|-x^4+x-1|-|2*x+x^4|)/(x-3*sqrt(x))$
per $x\to\infty$ gli argomenti dei valori assoluti sono entrambi positivi quando il segno di $x^4$ è positivo perché è un infinito di ordine superiore rispetto agli altri termini presenti appunto nei valori assoluti, per cui il limite si riduce a
$lim_[x\to\infty](x^4-x+1-2*x-x^4)/(x-3*sqrt(x))=lim_[x\to\infty](-3*x+1)/(x-3*sqrt(x))=-3$
Ho corretto su segnalazione di Smt 1033
per $x\to\infty$ gli argomenti dei valori assoluti sono entrambi positivi quando il segno di $x^4$ è positivo perché è un infinito di ordine superiore rispetto agli altri termini presenti appunto nei valori assoluti, per cui il limite si riduce a
$lim_[x\to\infty](x^4-x+1-2*x-x^4)/(x-3*sqrt(x))=lim_[x\to\infty](-3*x+1)/(x-3*sqrt(x))=-3$
Ho corretto su segnalazione di Smt 1033
Aspetta... l'argomento del primo valore assoluto dovrebbe essere negativo, visto che $x^4$ è preceduto dal -, quindi cambiando i segni effettivamente esce $-3x+1$ al numeratore... ma mi sa che il passaggio prima è sbagliato 
.
Comunque il ragionamento fila ma... perchè dividendo numeratore e denominatore per $x^4$ dall'inizio esce un altro risultato?
.Comunque il ragionamento fila ma... perchè dividendo numeratore e denominatore per $x^4$ dall'inizio esce un altro risultato?
Veramente dividendo numeratore e denominatore per $x^4$ viene una forma indeterminata $0/0$
Allora, analizziamo entrambi i valori assoluti
il primo $ |-x^4+x-1| $. Esso è uguale a
a) $ -x^4 + x -1 $ se $ -x^4+x-1 >0 $. Ma questo non avviene per nessuna $ x in R $;
b) $ x^4 - x +1$ se $ -x^4+x-1 <0 $ e questo avviene per ogni $ x in R $.
il secondo $ |2x+x^4| $. Esso è uguale a
a) $ 2x+x^4$ se $ 2x+x^4 >0 $, ossia per ogni $ x in ]-\infty, -root(3)(2)[ uu ]0, + \infty[ $. Per comodità indico questo insieme con $A$
b) $ -2x - x^4$ se $ 2x + x^4 < 0 $, ossia per ogni $ x in [-root(3)(2), 0] $. Per comodità indico questo insieme con $B$
Quindi il limite iniziale si scompone in due sotto-limiti
$\{(lim_{x \to \infty}(x^4-x+1-2x-x^4)/(x-3\sqrt(x)), x in A), (lim_{x \to \infty}(x^4-x+1+2x+x^4)/(x-3\sqrt(x)), x in B):}$
Ora, il primo limite
$ lim_{x \to \infty}(x^4-x+1-2x-x^4)/(x-3\sqrt(x))=lim_{x \to \infty}(-3x+1)/(x-3\sqrt(x)) $ ossia è una forma indeterminata, quindi, applicando Hopital, si ha che il limite vale $-3$ per ogni $x in A$.
Il secondo limite
$ lim_{x \to \infty}(x^4-x+1+2x+x^4)/(x-3\sqrt(x))=lim_{x \to \infty}(2x^4+x+1)/(x-3\sqrt(x))=+\infty $, per ogni $ x in B $, in quanto $x^4$ è un infinito di ordine superiore rispetto agli altri.
ok?
il primo $ |-x^4+x-1| $. Esso è uguale a
a) $ -x^4 + x -1 $ se $ -x^4+x-1 >0 $. Ma questo non avviene per nessuna $ x in R $;
b) $ x^4 - x +1$ se $ -x^4+x-1 <0 $ e questo avviene per ogni $ x in R $.
il secondo $ |2x+x^4| $. Esso è uguale a
a) $ 2x+x^4$ se $ 2x+x^4 >0 $, ossia per ogni $ x in ]-\infty, -root(3)(2)[ uu ]0, + \infty[ $. Per comodità indico questo insieme con $A$
b) $ -2x - x^4$ se $ 2x + x^4 < 0 $, ossia per ogni $ x in [-root(3)(2), 0] $. Per comodità indico questo insieme con $B$
Quindi il limite iniziale si scompone in due sotto-limiti
$\{(lim_{x \to \infty}(x^4-x+1-2x-x^4)/(x-3\sqrt(x)), x in A), (lim_{x \to \infty}(x^4-x+1+2x+x^4)/(x-3\sqrt(x)), x in B):}$
Ora, il primo limite
$ lim_{x \to \infty}(x^4-x+1-2x-x^4)/(x-3\sqrt(x))=lim_{x \to \infty}(-3x+1)/(x-3\sqrt(x)) $ ossia è una forma indeterminata, quindi, applicando Hopital, si ha che il limite vale $-3$ per ogni $x in A$.
Il secondo limite
$ lim_{x \to \infty}(x^4-x+1+2x+x^4)/(x-3\sqrt(x))=lim_{x \to \infty}(2x^4+x+1)/(x-3\sqrt(x))=+\infty $, per ogni $ x in B $, in quanto $x^4$ è un infinito di ordine superiore rispetto agli altri.
ok?
Ma se $x in B$ non può andare ad infinito perché B è un insieme limitato. 
Io ho ragionato così:
essendoci $sqrt(x)$ bisogna calcolare il limite solo per $x$ --> $+infty$perchè il limite non esiste se $x<0$
quindi dobbiamo considerare $x$ --> $+infty$
quindi i valori assoluti si calcolano, senza fare due casi o trovare insiemi particolari
Perciò in realtà è più semplice di come sembra
Inoltre @ Aliseo
a parte il discorso della radice di x, credo che nel tuo insieme B non si possa calcolare il limite per $x$ --> $infty$ anche perchè B è un intervallo limitato, e il limite da calcolare è infinito, e quindi non è un punto di accumulazione per l'insieme B.
essendoci $sqrt(x)$ bisogna calcolare il limite solo per $x$ --> $+infty$perchè il limite non esiste se $x<0$
quindi dobbiamo considerare $x$ --> $+infty$
quindi i valori assoluti si calcolano, senza fare due casi o trovare insiemi particolari
Perciò in realtà è più semplice di come sembra
Inoltre @ Aliseo
a parte il discorso della radice di x, credo che nel tuo insieme B non si possa calcolare il limite per $x$ --> $infty$ anche perchè B è un intervallo limitato, e il limite da calcolare è infinito, e quindi non è un punto di accumulazione per l'insieme B.
In effetti l'esercizio è per x->+$infty$.
La risposta di @amelia mi convince. Solo che facendo il grafico con un programma apposito mi esce che la funzione tende a +$infty$.
C'è qualcuno che, cortesemente, può verificare il grafico della funzione?
grazie.
La risposta di @amelia mi convince. Solo che facendo il grafico con un programma apposito mi esce che la funzione tende a +$infty$.
C'è qualcuno che, cortesemente, può verificare il grafico della funzione?
grazie.
è vero, nel risolverlo non avevo considerato proprio la radice quadrata. Segue che il limite si può risolvere solo per $ x \to +\infty $. Tuttavia ritengo si dovevano fare i casi circa i due valori assoluti, x analizzare le funzioni, al variare di $ x > 0 $ o $ x <0 $. Alla fine, cmq, il limite si riduce a
$ lim_{x \to +\infty}(-3x+1)/(x-3\sqrt(x)) $ ed essendo una forma indeterminata, applicando Hopital, si ottiene il risultato $-3$.
$ lim_{x \to +\infty}(-3x+1)/(x-3\sqrt(x)) $ ed essendo una forma indeterminata, applicando Hopital, si ottiene il risultato $-3$.
Riguardo al grafico @gabriello47, la funzione per $ x \to +\infty $ non tende all'infinito, ma tende asintoticamente a $-3$. Infatti, $y=-3$ è un asintoto orizzontale per la funzione in questione
Giusto, non ci avevo pensato a considerare i casi.
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