Limite con teorema di de l'Hopital, dubbio.
Ciao ragazzi,
ieri sera ho provato a risolvere questo limite:
Dopo aver sostituito il - inf mi accorgo che è una forma indeterminata inf/inf, così utilizzo l'Hopital.
Derivo il numeratore ed il denominatore però ottengo un altro limite uguale a quello di partenza, quindi la stessa forma indeterminata, poichè la derivata del denominatore è:
Ho risolto il limite raccogliendo il termine di grado massimo ma mi sto chiedendo: poichè con il teorema il limite dovrebbe trasformarsi in un limite senza la forma indeterminata (eventualmente applicandolo più di una volta), dove ho sbagliato ad applicarlo?
La forma indeterminata è inf/inf, quindi il caso è giusto... forse ho sbagliato a derivare?
Grazie mille!
ieri sera ho provato a risolvere questo limite:
Dopo aver sostituito il - inf mi accorgo che è una forma indeterminata inf/inf, così utilizzo l'Hopital.
Derivo il numeratore ed il denominatore però ottengo un altro limite uguale a quello di partenza, quindi la stessa forma indeterminata, poichè la derivata del denominatore è:
Ho risolto il limite raccogliendo il termine di grado massimo ma mi sto chiedendo: poichè con il teorema il limite dovrebbe trasformarsi in un limite senza la forma indeterminata (eventualmente applicandolo più di una volta), dove ho sbagliato ad applicarlo?
La forma indeterminata è inf/inf, quindi il caso è giusto... forse ho sbagliato a derivare?
Grazie mille!
Risposte
Se non ricordo male il teorema dell'Hopital dice che il rapporto delle derivate prime ha stesso limite del rapporto delle funzioni originali. Non dice nulla sul fatto che debba eliminare la forma indeterminata.
"dRic":
Se non ricordo male il teorema dell'Hopital dice che il rapporto delle derivate prime ha stesso limite del rapporto delle funzioni originali. Non dice nulla sul fatto che debba eliminare la forma indeterminata.
Mmm, quello che dici è vero, la definizione del teorema dice che il rapporto delle derivate prime ha lo stesso limite del rapporto delle funzioni originali. Ma, tutti i manuali che ho consultato, lo suggeriscono proprio come mezzo per trattare i limiti con forme indeterminate, in particolare quelli nella forma inf/inf.
Quindi questo non è vero, ed il teorema è un buon metodo solo qualche volta? :uhm:
Per come la vedo io (ma non sono un matematico quindi non saprei) il teo dell'Hopital ti facilita nel risolvere il limite ma non te lo risolve direttamente.
Considera per esempio $l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x}$ tu puoi applicare il teo dell'Hopital infinite volte però alla fine devi comunque calcolare il risultato finale
Considera per esempio $l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x}$ tu puoi applicare il teo dell'Hopital infinite volte però alla fine devi comunque calcolare il risultato finale
Scusami tanto, ma l'Hopital qui è una brutta scelta perchè ti trascina in un loop 
è molto più semplice $lim_(x->-oo) x/sqrt(x^2+1) = lim_(x->-oo) x/(abs(x)*sqrt(1+1/x^2)) = -1$
è molto più semplice $lim_(x->-oo) x/sqrt(x^2+1) = lim_(x->-oo) x/(abs(x)*sqrt(1+1/x^2)) = -1$
Mmm, 2 cose!
Grazie a tutti per le risposte, intanto!
Poi, @caffeinaplus, hai ragione, mi confermi anche tu quindi che l'utilizzo del teorema di de l'Hopital alcune volte può risultare una scelta inutile che non semplifica i calcoli (e questa per me è già una nuova informazione, poichè non lo sapevo), il metodo che mostri per risolvere il limite è quello che avevo provato anch'io, effettivamente più semplice.
@entrambi, più difficile da spiegare per me: per $ l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $, come potrei fare?
Nell'esempio di caffeinaplus, se semplifico x al numeratore con -x al denominatore, ottengo così $ 1/(-1*sqrt(1+0))$, eseguendo i calcoli risulta -1.
Posso fare un calcolo simile anche con $ \frac {e^x} {e^x} $, semplificando numeratore e denominatore poichè sono uguali ed ottenendo 1 (intendo $ e^x $ è proprio uguale a $ e^x $, quindi potrei semplificare)?
Grazie a tutti per le risposte, intanto!
Poi, @caffeinaplus, hai ragione, mi confermi anche tu quindi che l'utilizzo del teorema di de l'Hopital alcune volte può risultare una scelta inutile che non semplifica i calcoli (e questa per me è già una nuova informazione, poichè non lo sapevo), il metodo che mostri per risolvere il limite è quello che avevo provato anch'io, effettivamente più semplice.
@entrambi, più difficile da spiegare per me: per $ l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $, come potrei fare?
Nell'esempio di caffeinaplus, se semplifico x al numeratore con -x al denominatore, ottengo così $ 1/(-1*sqrt(1+0))$, eseguendo i calcoli risulta -1.
Posso fare un calcolo simile anche con $ \frac {e^x} {e^x} $, semplificando numeratore e denominatore poichè sono uguali ed ottenendo 1 (intendo $ e^x $ è proprio uguale a $ e^x $, quindi potrei semplificare)?
Si, in molti casi l'Hopital è inutilizzabile.Uno banale costruito ad hoc è
$lim_(x->oo) e^x/(e^(2x))$
Mentre per l'altro limite .. beh quello è semplicemente $lim_(x->oo) e^(x-x) =1$ , però con l'Hopital cadi in un ciclo infinito di derivazione
$lim_(x->oo) e^x/(e^(2x))$
Mentre per l'altro limite .. beh quello è semplicemente $lim_(x->oo) e^(x-x) =1$ , però con l'Hopital cadi in un ciclo infinito di derivazione
"Dlofud":
Mmm, 2 cose!
Grazie a tutti per le risposte, intanto!
Poi, @caffeinaplus, hai ragione, mi confermi anche tu quindi che l'utilizzo del teorema di de l'Hopital alcune volte può risultare una scelta inutile che non semplifica i calcoli (e questa per me è già una nuova informazione, poichè non lo sapevo), il metodo che mostri per risolvere il limite è quello che avevo provato anch'io, effettivamente più semplice.
@entrambi, più difficile da spiegare per me: per $ l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $, come potrei fare?
Nell'esempio di caffeinaplus, se semplifico x al numeratore con -x al denominatore, ottengo così $ 1/(-1*sqrt(1+0))$, eseguendo i calcoli risulta -1.
Posso fare un calcolo simile anche con $ \frac {e^x} {e^x} $, semplificando numeratore e denominatore poichè sono uguali ed ottenendo 1 (intendo $ e^x $ è proprio uguale a $ e^x $, quindi potrei semplificare)?
Qui stiamo parlando proprio del concetto di limite. Quando hai una frazione stai cercando di vedere quanto il numeratore vada "più velocemente" al limite del denominatore (o viceversa).
Prendi per esempio: $lim_{x->0} \frac {2x} {x}$
Per x = 1 abbiamo $\frac 2 1 = 2$
Per x = 0.1 abbiamo $\frac 0.2 0.1 = 2$
Per x = 0.00001 abbiamo $frac 0.00002 0.00001 = 2$
quindi vedi che il loro rapporto è costante e dipende dal coefficiente che moltiplica la x al numeratore. E' per questo che puoi "semplificare": in realtà non stai semplificando le x, ma stai ragionando sul loro rapporto.
La stessa cosa vale per $lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x}$
per $x = ln(1) = 0$ abbiamo $\frac 1 1 = 1$
per $x = ln(10)$ abbiamo $\frac 10 10 = 1$
per $x = ln(100)$ abbiamo $\frac 100 100 = 1$
ecc...
e quindi concludiamo che il "si può semplificare" numeratore e denominatore.
Ora facciamo un altro caso: $lim_{x->\infty} \frac x {e^x}$
per $x = ln(1)$ abbiamo $\frac 1 1 = 1$
per $x = ln(10)$ abbiamo $\frac {2.3025...} 10 = 0.2305...$
per $x = ln(100)$ abbiamo $\frac {0.4605...} 100 = 0.004605...$
Da qui si può concludere che $e^x$ cresce più velocemente di $x$ e quindi il limite tende a $0$. Questa non è altro che la gerarchia degli infiniti/esimi.
"caffeinaplus":
Si, in molti casi l'Hopital è inutilizzabile.Uno banale costruito ad hoc è
$lim_(x->oo) e^x/(e^(2x))$
Mentre per l'altro limite .. beh quello è semplicemente $lim_(x->oo) e^(x-x) =1$ , però con l'Hopital cadi in un ciclo infinito di derivazione
Ah, ottimo, cercavo conferma di quel problema con l'Hopital, grazie!
Per quanto riguarda $ l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $, il tuo suggerimento di riscriverlo come $lim_(x->oo) e^(x-x) =1$ mi sembra perfetto, ma ora mi chiedo come risolverei la forma di indeterminazione $ +infty -infty $ all'esponente?
(E, di nuovo, non è possibile "vederlo" come una immediata semplificazione tra un numeratore ed un denominatore uguali, come se semplificassi una frazione come 2/2, 5/5 e così via...?
)
@dRic, ho visto solo ora la tua risposta, ci sto ragionando sopra, grazie per la lunga spiegazione. 
@dRic, in effetti il mio problema principale in queste situazioni credo sia più concettuale che altro, ho l'impressione di non capire esattamente quali operazioni siano permesse e quali durante la riscrittura dei limiti per portarli ad espressioni che non abbiano forme indeterminate, uhm.
Il tuo punto mi ha chiarito maggiormente l'idea, almeno per quel che riguarda le frazioni!
Torno un momento all'esempio $ l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $. Riscrivendolo nella forma $ lim_(x->oo) e^(x-x) =1 $ è permesso eseguire la somma algebrica all'esponente (x-x) e scrivere così $ e^0 =1 $? Così la forma indeterminata inf - inf all'esponente non si presenterebbe e la soluzione sarebbe 1... è corretto?
Il tuo punto mi ha chiarito maggiormente l'idea, almeno per quel che riguarda le frazioni!
Torno un momento all'esempio $ l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $. Riscrivendolo nella forma $ lim_(x->oo) e^(x-x) =1 $ è permesso eseguire la somma algebrica all'esponente (x-x) e scrivere così $ e^0 =1 $? Così la forma indeterminata inf - inf all'esponente non si presenterebbe e la soluzione sarebbe 1... è corretto?
Si, penso di si. Sinceramente non capisco molto bene il tuo problema. Prova a fare altri esercizi e vedi come ti trovi.
Non è che la forma indeterminata non si presenta, quella si presenta eccome! Però tu la risolvi e scrivi il risultato! Se ti torna più comodo vederlo così allora vedilo così.
"Dlofud":
Così la forma indeterminata inf - inf all'esponente non si presenterebbe e la soluzione sarebbe 1
Non è che la forma indeterminata non si presenta, quella si presenta eccome! Però tu la risolvi e scrivi il risultato! Se ti torna più comodo vederlo così allora vedilo così.
Sinceramente eviterei di perdere tempo su un esempio "controproducente" che crea solo confusione ... si dovrebbe ricordare che prima di calcolare il limite è meglio dare una "ripulita" alla funzione: quella dell'esempio non è altro che $1$, sempre, quindi non c'è indeterminazione ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Mi state entrambi aiutando, grazie!
Forse uno dei miei problemi è anche capire quando è necessario ripulire la funzione, poi capire quali passaggi sono fatti per questa ripulita e quali invece sono passaggi fatti per calcolare il limite...
Non so se sono riuscito a spiegarmi, capisco risulti una domanda sciocca...
Per esempio, seguendo il filo di axpgn, nel caso $ lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $ una semplificazione sopra e sotto è valida (poichè il denominatore non può mai annullarsi) come passaggio che ripulisce la funzione, che in realtà è $ f(x)=1 $, senza numeratori, denominatori e quant'altro... Ecco, questo mi sembra un passaggio di semplice "ripulitura" della funzione, per riscriverla nella sua forma più semplice.
Cercherò di portarvi anche qualche altro esempio, per focalizzare la mia incertezza e porvi domande più precise!
Forse uno dei miei problemi è anche capire quando è necessario ripulire la funzione, poi capire quali passaggi sono fatti per questa ripulita e quali invece sono passaggi fatti per calcolare il limite...
Non so se sono riuscito a spiegarmi, capisco risulti una domanda sciocca...
Per esempio, seguendo il filo di axpgn, nel caso $ lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $ una semplificazione sopra e sotto è valida (poichè il denominatore non può mai annullarsi) come passaggio che ripulisce la funzione, che in realtà è $ f(x)=1 $, senza numeratori, denominatori e quant'altro... Ecco, questo mi sembra un passaggio di semplice "ripulitura" della funzione, per riscriverla nella sua forma più semplice.
Cercherò di portarvi anche qualche altro esempio, per focalizzare la mia incertezza e porvi domande più precise!
https://www.youtube.com/watch?v=riXcZT2ICjA&t=260s
(Puoi mettere i sottotitoli in italiano se non capisci, ci sono)
(Puoi mettere i sottotitoli in italiano se non capisci, ci sono)
Provo a spiegare brevemente la storia dei limiti perché mi pare che il problema è alla base di ciò che stai facendo, e poi oltre che a te fa bene pure a me
Praticamente che vuol dire fare un limite?Vuol dire studiare il comportamento di una funzione nei dintorni di un punto.Adesso, fare un limite per $x->+oo$ vuol dire studiare cosa accade alla funzione via via che x assume valori più grandi.Ad esempio prendiamo
$lim_(x->+oo) sinx/x$
Noi vogliamo capire cosa fa questa funzione quando la x cresce.Spezziamo in più parti il problema
Al numeratore abbiamo $sinx$.Ora, man mano che cresce sappiamo che il valore oscilla.sempre in questo modo
$-1<=sinx<=1$
Mentre il denominatore assume valori sempre più grandi ( tende a infinito )
Ora mettiamo insieme i vari pezzi.Se ad esempio ci spostiamo fino $x=1000$ che cosa succede?
Che $sinx$ continua a variare nell'intervallo che ho scritto prima, mentre il denominatore continua a crescere.
In pratica abbiamo $sinx/1000$ quindi al massimo $0,001$ e come minimo $-0,001$.Ora, se continuiamo a far crescere la.$x$ abbiamo valori sempre più prossimi a $0$, quindi diciamo che tende a $0$.
Nel caso di $lim_(x->+oo) e^x/(e^x)$ è lecito dire che fa 1 perché numeratore e denominatore crescono esattamente allo stesso modo, hai praticamente ( per fare un esempio)
-$e^2/e^2$
-$e^3/e^3$
.
.
.
$e^10000/e^10000$
E via cosi per qualunque valore tu voglia.
In pratica il tuo compito nel calcolare il limite all'infinito è capire quale è il rapporto tra i termini, chi cresce di più, chi di meno, chi non fa.nulla ecc
Spero ti abbia chiarito un po le idee su cosa stai realmente facendo e perché puoi fare qualcosa
Praticamente che vuol dire fare un limite?Vuol dire studiare il comportamento di una funzione nei dintorni di un punto.Adesso, fare un limite per $x->+oo$ vuol dire studiare cosa accade alla funzione via via che x assume valori più grandi.Ad esempio prendiamo
$lim_(x->+oo) sinx/x$
Noi vogliamo capire cosa fa questa funzione quando la x cresce.Spezziamo in più parti il problema
Al numeratore abbiamo $sinx$.Ora, man mano che cresce sappiamo che il valore oscilla.sempre in questo modo
$-1<=sinx<=1$
Mentre il denominatore assume valori sempre più grandi ( tende a infinito )
Ora mettiamo insieme i vari pezzi.Se ad esempio ci spostiamo fino $x=1000$ che cosa succede?
Che $sinx$ continua a variare nell'intervallo che ho scritto prima, mentre il denominatore continua a crescere.
In pratica abbiamo $sinx/1000$ quindi al massimo $0,001$ e come minimo $-0,001$.Ora, se continuiamo a far crescere la.$x$ abbiamo valori sempre più prossimi a $0$, quindi diciamo che tende a $0$.
Nel caso di $lim_(x->+oo) e^x/(e^x)$ è lecito dire che fa 1 perché numeratore e denominatore crescono esattamente allo stesso modo, hai praticamente ( per fare un esempio)
-$e^2/e^2$
-$e^3/e^3$
.
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$e^10000/e^10000$
E via cosi per qualunque valore tu voglia.
In pratica il tuo compito nel calcolare il limite all'infinito è capire quale è il rapporto tra i termini, chi cresce di più, chi di meno, chi non fa.nulla ecc
Spero ti abbia chiarito un po le idee su cosa stai realmente facendo e perché puoi fare qualcosa
Sappiate che ci sto andando dietro, seppur nei ritagli di tempo!
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