Limite con tangente ed esponenziale

[gcappellotto47]

Salve
Ho questo limite:

$\lim_{x \to 0}\frac{\tan(x)}{e^{\sin(x)}-\cos(x)}$

ho calcolato con varie equivalenze asintotiche ed ho ottenuto un risultato pari a $1$.

Per una mia curiosità, questo limite si può calcolare anche con i metodi usuali, tipo: sostituzione, limiti notevoli, ecc. ?
Grazie e saluti
Giovanni C.

[minomic]

Ciao,
premetto che quello che sto per dire può anche essere sbagliato... Comunque lo dico lo stesso e poi vediamo gli altri utenti cosa ne pensano!
Se anziché quel limite provi a calcolare il limite del reciproco ottieni
\[
\frac{\left(e^{\sin x}-\cos x\right)\cos x}{\sin x}
\] che puoi riscrivere come
\[
\cos x\left[\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x} + \frac{1-\cos x}{\sin x}\right]
\] Il primo addendo è notevole, mentre per il secondo possiamo moltiplicare sopra e sotto per $(1+cos x)$ e otteniamo
\[
\cos x\left[\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x} + \frac{\sin x}{1+\cos x}\right]
\] Passando al limite otteniamo \[1\left[1+0\right] = 1\] Di conseguenza il limite del reciproco (cioè quello originale) sarà $1/1 = 1$.

Cosa ne dite? Attendo notizie, anche perché io stesso sono curioso!

[giammaria2]

A mio avviso il metodo di minomic va benone; basta iniziare con

[size=150]$lim_(x->0)(tanx)/(e^(sinx)-cosx)=1/(lim_(x->0)((e^(sin x)-cos x)cos x)/(sin x))$[/size]

[minomic]

Molto bene, grazie della conferma! Ne ero quasi certo ma non volevo spacciare per vera una cosa della quale non ero completamente sicuro...

[Sk_Anonymous]

Il calcolo di minomic mi pare giusto. Comunque si può anche operare direttamente scrivendo il limite come segue:
$lim_{x->0}{{tanx}/{x}}/{{e^{sinx}-1}/{sinx}\cdot{sinx}/{x}+{1-cosx}/{x}}=1/{1\cdot 1+0}=1$