Limite con parametro
Avrei bisogno che qualcuno, più ferrato di me, come ad esempio giammaria o seneca o la mitica @melia (che nel cor mi sta) mi correggesse questo esercizione in cui il parametro $a in RR$.
$lim_(x->0)(3x*ln(x^2)+cos(x^(2a))-e^(ax))/(a*(cos(x)-1)+x^2)$. Ho smontato la funzione e ho trovato:
1) $3x*ln(x^2)$ l'ho risolto con l'hopital e ho trovato $0$.
2)$cos(x^(2a))-e^(ax)$ l'ho scritto così $-((1-cosx^(2a))/x^(2a)*x^(2a) +(e^(ax)-1)/(ax)*ax)$ e applicando i relativi limiti notevoli ho ricavato $-ax$
3) $a*(cos(x)-1)$ l'ho scritto $ax*(cos(x)-1)/x$ che mi dà $0$. Per cui, rimontando tutto il puzzle, ho come limite:
$-ax/x^2=-a/x$ e quindi se $a>0$ e $x->0^+$ il $lim= -infty$ e viceversa per $a<0$. Cambiano i segni del limite se $x->0^-$. Il caso $a=0$ mi trasforma la funzione in $(3*ln(x^2))/x $ che per $x->0$ mi pare faccia $-infty$. Spero di essere stato leggibile (ma che fatica scrivere le formule!) e sopratutto spero in una risposta esauriente.
Grazie a tutti i forum-utenti e, in particolare, ai moderatori.
$lim_(x->0)(3x*ln(x^2)+cos(x^(2a))-e^(ax))/(a*(cos(x)-1)+x^2)$. Ho smontato la funzione e ho trovato:
1) $3x*ln(x^2)$ l'ho risolto con l'hopital e ho trovato $0$.
2)$cos(x^(2a))-e^(ax)$ l'ho scritto così $-((1-cosx^(2a))/x^(2a)*x^(2a) +(e^(ax)-1)/(ax)*ax)$ e applicando i relativi limiti notevoli ho ricavato $-ax$
3) $a*(cos(x)-1)$ l'ho scritto $ax*(cos(x)-1)/x$ che mi dà $0$. Per cui, rimontando tutto il puzzle, ho come limite:
$-ax/x^2=-a/x$ e quindi se $a>0$ e $x->0^+$ il $lim= -infty$ e viceversa per $a<0$. Cambiano i segni del limite se $x->0^-$. Il caso $a=0$ mi trasforma la funzione in $(3*ln(x^2))/x $ che per $x->0$ mi pare faccia $-infty$. Spero di essere stato leggibile (ma che fatica scrivere le formule!) e sopratutto spero in una risposta esauriente.
Grazie a tutti i forum-utenti e, in particolare, ai moderatori.
Risposte
Secondo me te ne esci prima,e con meno errori(qualcuno sparso l'ho visto,ma nel caso se ne riparla dopo..)
osservando che,$AA a in (-oo,0]$,la funzione argomento del tuo limite è maggiorata,
in un opportuno intorno sinistro di $0$,
dalla funzione la cui legge di definizione è $f_a(x)=(6x"ln"|x|-(e^(ax)-1))/(a("cos"x-1)+x^2)=(6x"ln"(-x)-(e^(ax)-1))/(a("cos"x-1)+x^2)$
(che ivi diverge negativamente,come verificabile ad esempio applicando due volte il teorema di De L'Hopital..),
e maggiora,in un opportuno intorno destro di $0$,quella la cui legge di definizione è $g_a(x)=(6x"ln"|x|-(e^(ax)-1))/(a("cos"x-1)+x^2)=(6x"ln"x-(e^(ax)+1))/(a("cos"x-1)+x^2)$
(che ivi diverge positivamente,per motivi analoghi a quelli del caso precedente..):
da questo potrai dedurre come sia corretta la conclusione che hai tratto esaminando il caso $a in (-oo,0]$
(tranne quella che hai dedotto nel caso $a=0$,
dove hai avuto una svista sulla possibilità che quel denominatore cambi segno in un intorno completo di $0$..)!
Per $a>0$ puoi nuovamente applicare due volte il Marchese,
senza bisogno di far distinzioni all'inizio di questa classificazione:
solo che,ad occhio,poi saltano fuori due valori di $a$ importanti per stabilire il verso della divergenza
(oltre il "lato" dal quale la $x$ tende a $0$,che occorre attenzionare con cura come hai giustamente fatto in precedenza):
ovvero $a=0$ ed $a=1/2$..
Saluti dal web.
Edit.
Corretto errore di segno.
osservando che,$AA a in (-oo,0]$,la funzione argomento del tuo limite è maggiorata,
in un opportuno intorno sinistro di $0$,
dalla funzione la cui legge di definizione è $f_a(x)=(6x"ln"|x|-(e^(ax)-1))/(a("cos"x-1)+x^2)=(6x"ln"(-x)-(e^(ax)-1))/(a("cos"x-1)+x^2)$
(che ivi diverge negativamente,come verificabile ad esempio applicando due volte il teorema di De L'Hopital..),
e maggiora,in un opportuno intorno destro di $0$,quella la cui legge di definizione è $g_a(x)=(6x"ln"|x|-(e^(ax)-1))/(a("cos"x-1)+x^2)=(6x"ln"x-(e^(ax)+1))/(a("cos"x-1)+x^2)$
(che ivi diverge positivamente,per motivi analoghi a quelli del caso precedente..):
da questo potrai dedurre come sia corretta la conclusione che hai tratto esaminando il caso $a in (-oo,0]$
(tranne quella che hai dedotto nel caso $a=0$,
dove hai avuto una svista sulla possibilità che quel denominatore cambi segno in un intorno completo di $0$..)!
Per $a>0$ puoi nuovamente applicare due volte il Marchese,
senza bisogno di far distinzioni all'inizio di questa classificazione:
solo che,ad occhio,poi saltano fuori due valori di $a$ importanti per stabilire il verso della divergenza
(oltre il "lato" dal quale la $x$ tende a $0$,che occorre attenzionare con cura come hai giustamente fatto in precedenza):
ovvero $a=0$ ed $a=1/2$..
Saluti dal web.
Edit.
Corretto errore di segno.
Scusa, ma non capisco: indipendentemente dal fatto che l'intorno sia destro o sinistro si ha $cosx^(2a)<1$ ed il segno del denominatore (che è una funzione pari) non cambia: perché allora dici che in un intorno maggiora e nell'altro è maggiorata?
Inoltre ho qualche riserva sul $a in RR$: un numero negativo può essere elevato solo ad esponenti interi, quindi se $2a$ non è intero non esiste il limite per $x->0^-$
Inoltre ho qualche riserva sul $a in RR$: un numero negativo può essere elevato solo ad esponenti interi, quindi se $2a$ non è intero non esiste il limite per $x->0^-$
Sul secondo punto hai ragione,Gianmaria:
ho implicitamente,ma sopratutto superficialmente,
considerato quell'$x^(2a)$ come $(x^2)^a$..
È però vero che,se così fosse stata definita la funzione argomento,quei due versi distinti andavano considerati come ho fatto,
perché una cosa è,ad esempio, avvedersi che in un intorno sx di $0$ si ha,$AA a in (-oo,0]$,$f_a(x)<=g_a(x)$ e $EE lim_(x to 0^+)g_a(x)=-oo$
(che ha una conseguenza notevole sulla divergenza di quelle $f_a$ in quell'intorno..),
un'altra lo è se le $g_a$ divergessero positivamente in quell'intorno
(che non permetterebbe di dedurre nulla..):
differenza che và fatta pure scambiando i minori coi maggiori ed i vocaboli destro e sinistro..
Saluti dal web.
(*)Credo sia accaduto perché,inconsciamente,lo scopo didattico dell'esercizio m'è parso quella separazione di andamenti dx e sx che t'ho palesato,
e l'unico modo per evidenziare quegli aspetti "tecnici" che ritenevo peculiari era effettuare quella piccola,
ma sostanziale ed in definitiva errata perché ne altera il campo d'esistenza,
modifica alla legge di definizione della funzione argomento..
ho implicitamente,ma sopratutto superficialmente,
considerato quell'$x^(2a)$ come $(x^2)^a$..
È però vero che,se così fosse stata definita la funzione argomento,quei due versi distinti andavano considerati come ho fatto,
perché una cosa è,ad esempio, avvedersi che in un intorno sx di $0$ si ha,$AA a in (-oo,0]$,$f_a(x)<=g_a(x)$ e $EE lim_(x to 0^+)g_a(x)=-oo$
(che ha una conseguenza notevole sulla divergenza di quelle $f_a$ in quell'intorno..),
un'altra lo è se le $g_a$ divergessero positivamente in quell'intorno
(che non permetterebbe di dedurre nulla..):
differenza che và fatta pure scambiando i minori coi maggiori ed i vocaboli destro e sinistro..
Saluti dal web.
(*)Credo sia accaduto perché,inconsciamente,lo scopo didattico dell'esercizio m'è parso quella separazione di andamenti dx e sx che t'ho palesato,
e l'unico modo per evidenziare quegli aspetti "tecnici" che ritenevo peculiari era effettuare quella piccola,
ma sostanziale ed in definitiva errata perché ne altera il campo d'esistenza,
modifica alla legge di definizione della funzione argomento..
Sono ammirato della vs competenza e ringrazio per le risposte. Ma lo scopo del mio messaggio è quello di avere una correzione del mio svolgimento e ho capito che ci sono degli errori ma non ho capito in quale passaggio ho ciccato e come è la soluzione corretta. Se le considerazioni di theras si riferiscono a qualcosa che ha a che fare con successioni o serie non lo posso seguire perchè quella parte non è stata trattata dall'insegnante, se, invece, si riferisce al teorema del confronto allora non ho capito bene e, comunque, non mi pare una strada accessibile per me.
Dunque concludo: se mi usate la gentilezza di fare una correzione tipo compito in classe (cioè errore e correzione)ve ne sarò grato.
Buona giornata a tutti.
Dunque concludo: se mi usate la gentilezza di fare una correzione tipo compito in classe (cioè errore e correzione)ve ne sarò grato.
Buona giornata a tutti.
Tu hai supposto che $x^(2a)$ tendesse a zero, ma per $a<0$ tende invece ad infinito e il limite del numeratore non esiste perché il coseno continua ad oscillare fra $-1$ ed $1$; occorre allora un ragionamento del tipo fatto da theras.
Hai fatto bene il caso $a=0$ e resta da esaminare il caso $a>0$, in cui hai smontato bene ma rimontato male; quest'ultima operazione non è semplice, tanto che io preferirei affidarmi direttamente all'Hospital. Il tuo principale errore è stato approssimare con $ax$ il termine $((1-cosx^(2a))/x^(2a)*x^(2a)+(e^(ax)-1)/(ax)*ax)$, in parte perché nelle forme indeterminate non sempre è lecito trascurare gli infinitesimi di ordine superiore e soprattutto perché nella tendenza a zero forme come $3x^p+5x^q$ si approssimano con $3x^p$ solo se $p
Se ne troverò il tempo, cercherò di postare la soluzione completa ma, data la complessità dell'esercizio, consiglio il teorema dell'Hospital. E te lo dice una persona che ne fa il minor uso possibile.
Hai fatto bene il caso $a=0$ e resta da esaminare il caso $a>0$, in cui hai smontato bene ma rimontato male; quest'ultima operazione non è semplice, tanto che io preferirei affidarmi direttamente all'Hospital. Il tuo principale errore è stato approssimare con $ax$ il termine $((1-cosx^(2a))/x^(2a)*x^(2a)+(e^(ax)-1)/(ax)*ax)$, in parte perché nelle forme indeterminate non sempre è lecito trascurare gli infinitesimi di ordine superiore e soprattutto perché nella tendenza a zero forme come $3x^p+5x^q$ si approssimano con $3x^p$ solo se $p
Se ne troverò il tempo, cercherò di postare la soluzione completa ma, data la complessità dell'esercizio, consiglio il teorema dell'Hospital. E te lo dice una persona che ne fa il minor uso possibile.
Indico con $L$ il limite da calcolare, con $L^+$ il limite destro, con $L^-$ quello sinistro e con $l(x)$ la funzione, cioè
$l(x)=(6xln|x|+cosx^(2a)-e^(ax))/(a(cosx-1)+x^2)$
Ripeto (per la motivazione vedi il mio primo post) che se $2a$ non è intero $L^-$ non esiste; quando ne darò il valore sottintenderò che esista. Nell'applicare l'Hospital ricordo che $D(ln|x|)=1/x$ e distinguo tre casi.
Caso $a=0$
Già considerato
Caso $a>0$
Si ha la forma indeterminata $0/0$ ed applico l'Hospital
$L=lim_(x->0) (6ln|x|+6-senx^(2a)*2ax^(2a-1)-ae^(ax))/(-asenx+2x)$
Il numeratore tende ad infinito ed il denominatore a zero quindi il risultato è infinito; resta da stabilirne il segno ed a tale scopo cominciamo a notare che per $a<=2$ il denominatore ha lo stesso segno di $x$ ed altrimenti segno opposto. Per quanto riguarda il numeratore, poiché $sen x^(2a)$ è approssimabile con $x^(2a)$, il terzo addendo tende a finito se $4a-1>=0$ ed infinito altrimenti; dobbiamo quindi distinguere due sottocasi:
- $0
--- se $1/4<=a<=2$, si ha $L^+=-oo, L^(-) =+oo$
--- se $a>2$ i segni sono scambiati.
Caso $a<0$
Poiché $x^(2a)$ tende ad infinito, il coseno oscilla fra -1 ed 1 ed il limite del numeratore non esiste.
- Per $x->0^+$ pongo
$f(x)=(6xln|x|+1-e^(ax))/(a(cosx-1)+x^2)$
e noto che, poiché il denominatore è positivo e $cosx^(2a)<=1$, si ha $l(x)<=f(x)$. Inoltre
$lim_(x->0^+)f(x)=lim_(x->0^+)(6ln|x|+6-ae^(ax))/(-asenx+2x)=-oo$
e, dato che $l(x)<=f(x)$, concludo che $L^+=-oo$
- Per $x->0^-$ pongo
$g(x)=(6xln|x|-1-e^(ax))/(a(cosx-1)+x^2)$
e noto che, poiché il denominatore è positivo e $cosx^(2a)>=-1$, si ha $l(x)>=g(x)$. Inoltre
$lim_(x->0^-)g(x)=lim_(x->0^-)(6ln|x|+6-ae^(ax))/(-asenx+2x)=+oo$
e, dato che $l(x)>=g(x)$, concludo che $L^(-)=+oo$
Spero di non aver fatto troppi errori: in un esercizio simile è facile perdere la testa. Ringrazio theras per il suggerimento: non avevo alcuna buona idea per il caso $a<0$.
@theras. Adesso capisco! Nel tuo primo post, nell'intorno sinistro avevi distrattamente sbagliato il segno dell'$1$ a numeratore: era questo che mi rendeva incomprensibile la tua soluzione.
$l(x)=(6xln|x|+cosx^(2a)-e^(ax))/(a(cosx-1)+x^2)$
Ripeto (per la motivazione vedi il mio primo post) che se $2a$ non è intero $L^-$ non esiste; quando ne darò il valore sottintenderò che esista. Nell'applicare l'Hospital ricordo che $D(ln|x|)=1/x$ e distinguo tre casi.
Caso $a=0$
Già considerato
Caso $a>0$
Si ha la forma indeterminata $0/0$ ed applico l'Hospital
$L=lim_(x->0) (6ln|x|+6-senx^(2a)*2ax^(2a-1)-ae^(ax))/(-asenx+2x)$
Il numeratore tende ad infinito ed il denominatore a zero quindi il risultato è infinito; resta da stabilirne il segno ed a tale scopo cominciamo a notare che per $a<=2$ il denominatore ha lo stesso segno di $x$ ed altrimenti segno opposto. Per quanto riguarda il numeratore, poiché $sen x^(2a)$ è approssimabile con $x^(2a)$, il terzo addendo tende a finito se $4a-1>=0$ ed infinito altrimenti; dobbiamo quindi distinguere due sottocasi:
- $0
--- se $1/4<=a<=2$, si ha $L^+=-oo, L^(-) =+oo$
--- se $a>2$ i segni sono scambiati.
Caso $a<0$
Poiché $x^(2a)$ tende ad infinito, il coseno oscilla fra -1 ed 1 ed il limite del numeratore non esiste.
- Per $x->0^+$ pongo
$f(x)=(6xln|x|+1-e^(ax))/(a(cosx-1)+x^2)$
e noto che, poiché il denominatore è positivo e $cosx^(2a)<=1$, si ha $l(x)<=f(x)$. Inoltre
$lim_(x->0^+)f(x)=lim_(x->0^+)(6ln|x|+6-ae^(ax))/(-asenx+2x)=-oo$
e, dato che $l(x)<=f(x)$, concludo che $L^+=-oo$
- Per $x->0^-$ pongo
$g(x)=(6xln|x|-1-e^(ax))/(a(cosx-1)+x^2)$
e noto che, poiché il denominatore è positivo e $cosx^(2a)>=-1$, si ha $l(x)>=g(x)$. Inoltre
$lim_(x->0^-)g(x)=lim_(x->0^-)(6ln|x|+6-ae^(ax))/(-asenx+2x)=+oo$
e, dato che $l(x)>=g(x)$, concludo che $L^(-)=+oo$
Spero di non aver fatto troppi errori: in un esercizio simile è facile perdere la testa. Ringrazio theras per il suggerimento: non avevo alcuna buona idea per il caso $a<0$.
@theras. Adesso capisco! Nel tuo primo post, nell'intorno sinistro avevi distrattamente sbagliato il segno dell'$1$ a numeratore: era questo che mi rendeva incomprensibile la tua soluzione.
@Gianmaria.
Innanzitutto,Prof,grazie a te per le correzioni
(quella sostanziale relativa ad $x^(2a)$ e l'altra,che ora correggo,
da distrazione o,per come sarebbe più giusto dire,
fusione mentale ed oculare da iperimmersione in età non più verdissima nelle Proposizioni ed applicazioni della Matematica
):
poi grazie per aver ben completato il lavoro che avevo impostato a spanne nel caso di $a$ positivo,
e meglio spiegato quello per i valori complementari di tale parametro.
Ciò detto torno alla causa dell'errore sostanziale:
mi convinco sempre più che la mancata scrittura di $x^(2a)$ nella forma $(x^2)^a$ che avevo interpretato io sia una svista del somministratore del problema,
perché a darlo in quella forma,
proprio per la ragione che hai giustamente sollevato e ribadito,
non è nemmeno legittimo chiedere quel limite in un intorno completo di $0$ per tutti i valori del parametro reale $a$..
@Gabriele(o Antonello?).
Spero ora sia tutto chiaro:
quesito indubbiamente "camurriusu",si dice sotto il mio vulcano,
ma riguardante funzioni reali d'una variabile reale e non successioni o serie
(và bene che un nesso può esserci,ma è meglio tirarlo in ballo solo quand'è davvero il caso
)!
Saluti dal web.
Innanzitutto,Prof,grazie a te per le correzioni
(quella sostanziale relativa ad $x^(2a)$ e l'altra,che ora correggo,
da distrazione o,per come sarebbe più giusto dire,
fusione mentale ed oculare da iperimmersione in età non più verdissima nelle Proposizioni ed applicazioni della Matematica
):poi grazie per aver ben completato il lavoro che avevo impostato a spanne nel caso di $a$ positivo,
e meglio spiegato quello per i valori complementari di tale parametro.
Ciò detto torno alla causa dell'errore sostanziale:
mi convinco sempre più che la mancata scrittura di $x^(2a)$ nella forma $(x^2)^a$ che avevo interpretato io sia una svista del somministratore del problema,
perché a darlo in quella forma,
proprio per la ragione che hai giustamente sollevato e ribadito,
non è nemmeno legittimo chiedere quel limite in un intorno completo di $0$ per tutti i valori del parametro reale $a$..
@Gabriele(o Antonello?).
Spero ora sia tutto chiaro:
quesito indubbiamente "camurriusu",si dice sotto il mio vulcano,
ma riguardante funzioni reali d'una variabile reale e non successioni o serie
(và bene che un nesso può esserci,ma è meglio tirarlo in ballo solo quand'è davvero il caso
)!Saluti dal web.
Benchè il prof. si vanti spesso di essere un grande della matematica, non credo che pensasse a una soluzione come quella di giammaria (per il quale propongo l'assegnazione di una medaglia Field) e alle varie "complicazioni" insite nel porre $a in RR$ che peraltro non ho nemmeno capito in tutte le sottigliezze. La studierò meglio in nottata perchè molto stimolante. Mi resta un' ultima richiesta. Ho utilizzato il limite notevole $(1-cosx)/x =0$ sostituendo a $x$ il valore $x^(2a)$: ho dedotto dalle vs risposte che la sostituzione non è lecita in questo caso. E' così? e perchè ? forse perchè viene una forma $0*infty$?
Sì, proprio per questo.
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