Limite con notevoli

[pilgrim1]

Mi potete aiutare con questo limite? wolfram alpha dice che viene $2-2ln(pi)$

Questo è il mio svolgimento:

$lim_(x->0) (x(pi^x-e^x))/(cosx-1) = 0/0 = lim_(x->0) (x(pi^x-e^x))/(cosx-1) * (-1)/(-1) = lim_(x->0) (x(e^x-pi^x))/(1-cosx)*(x)/(x) =$

applico limite notevole cosx

$lim_(x->0) (2(e^x-pi^x))/x = lim_(x->0) (2pi^x(e^x/pi^x-1))/x = lim_(x->0) (2pi^x((e/pi)^x-1))/x = lim_(x->0) (2pi^x(e^(xln(e/pi))-1))/x * (ln(e/pi))/(ln(e/pi))$

applico limite notevole e^x

$lim_(x->0) 2pi^xln(e/pi) = 2ln(e/pi)$

Non so che pesci pigliare

EDIT

OK come non detto proprietà dei logaritmi...

$2ln(e/pi) = ln(e/pi)^2 = ln(e^2/pi^2) = ln(e^2) - ln (pi^2) = 2-2ln(pi)$

[@melia]

Magari ripassare i logaritmi!!!
Hai fatto una marea di calcoli e mi vai a cadere sulle proprietà dei logaritmi!
$ lim_(x->0) 2pi^xln(e/pi) = 2ln(e/pi) =2(ln e - ln pi)= 2(1-ln pi) =2 - 2 ln pi$

[pilgrim1]

"@melia"::D
Magari ripassare i logaritmi!!!
Hai fatto una marea di calcoli e mi vai a cadere sulle proprietà dei logaritmi!
$ lim_(x->0) 2pi^xln(e/pi) = 2ln(e/pi) =2(ln e - ln pi)= 2(1-ln pi) =2 - 2 ln pi$

Grazie Amelia... imparo sempre qualcosa dai tuoi post!

Il tuo calcolo è molto più pulito e veloce del mio, però (correggimi se sbaglio) non credo di aver violato le proprietà dei logaritmi...
Sono andato inutilmente per le lunghe, quello sì...

[@melia]

va tutto bene, non avevo notato il tuo ultimo edit, forse avevo iniziato il mio intervento prima dell'ultima aggiunta.