Limite con limiti notevoli
L'esercizio dice di calcolare il limite $\lim_{x \to 0}{x}/{cos(2x) - cos(x)}$ e dà come risulato $\infty$.
Osservando che a sinistra di zero è $+\infty$ e a destra di zero è $-\infty$ non si dovrebbe dire che il limite non esiste?
Osservando che a sinistra di zero è $+\infty$ e a destra di zero è $-\infty$ non si dovrebbe dire che il limite non esiste?
Risposte
Sicuro che la scrittura sia quella? Quel limite fa zero.
"axpgn":
Sicuro che la scrittura sia quella? Quel limite fa zero.
scusa, ho corretto
Con un ragionamento un poco a naso ed un poco con l'espansione in serie si vede che, in prima approssimazione, la funzione che hai scritto "viaggia" come $-1/x$.
Quindi si, come hai detto, non esiste il limite in $0$
Quindi si, come hai detto, non esiste il limite in $0$
"reda99":
Con un ragionamento un poco a naso ed un poco con l'espansione in serie si vede che, in prima approssimazione, la funzione che hai scritto "viaggia" come $-1/x$.
Quindi si, come hai detto, non esiste il limite in $0$
Mi spiego meglio, con un altro esempio:
ha senso scrivere $\lim_{x \to 0} 1/x = \infty$ senza specificare che si tratta di limite destro o sinistro? allo stesso modo senza specificare $+\infty$ o $-\infty$, perchè poi alla fine sempre infinito è?
l'obiettivo dell'esercizio è familiarizzare con i limiti notevoli e quindi va bene lo stesso, che dite?
Per quanto riguarda il limite del primo post immagino che il libro cerchi una soluzione come questa:
...$={x}/{\cos^2(x) - sin^2(x)- cos{x}}$ =
$={x}/{cos(x)*(cos(x)-1) - sin^2(x)}=$
$={x}/{-(1-cos(x))*\cos(x) - sin^2(x)}=$
$={{1}/{x}}/{-{1-cos(x)}/{x^2}*{cos(x)}/{1}-{sin^2(x)}/{x^2}}=$
$={\infty}/{-{1/2}*{1}/{1}-{1}}= \infty$
Per me non ha senso.
Il limite di $1/x$ in $0$ è indeterminato, se ci arrivi dal lato sinistro è −∞ invece dal lato destro +∞
Il limite di $1/x$ in $0$ è indeterminato, se ci arrivi dal lato sinistro è −∞ invece dal lato destro +∞
"reda99":
Per me non ha senso.
Il limite di $1/x$ in $0$ è indeterminato, se ci arrivi dal lato sinistro è −∞ invece dal lato destro +∞
sono d'accordo con te, però sto vedendo che il libro del liceo scientifico usa questa "forma abbreviata"
spesso
OK allora più che "forma abbreviata" direi che si tratta della retta estesa dei reali e quì si che vale
$1/x=∞$ per $x->0$
$1/x=∞$ per $x->0$
"reda99":
OK allora più che "forma abbreviata" direi che si tratta della retta estesa dei reali e quì si che vale
$1/x=∞$ per $x->0$
E la retta estesa per quale motivo la si introduce?
Lo si fa per essere più sintetici, no?
per includere più casi sotto un'unica scrittura, giusto?
allora va bene? non è sbagliato
Si, va bene.
Era solo per sottolineare che sarebbe opportuno sapere dall'inizio le condizioni del "campo di gioco"
Era solo per sottolineare che sarebbe opportuno sapere dall'inizio le condizioni del "campo di gioco"
"lasy":
[quote="reda99"]Per me non ha senso.
Il limite di $1/x$ in $0$ è indeterminato, se ci arrivi dal lato sinistro è −∞ invece dal lato destro +∞
sono d'accordo con te, però sto vedendo che il libro del liceo scientifico usa questa "forma abbreviata"
spesso[/quote]
Quale libro?
Di certo non è conforme all'uso dei simboli che usualmente si fa dalle nostre parti.
P.S.: Per le formule di prostaferesi, il denominatore è uguale a $-2 sin(3/2 x) sin(x/2)$, quindi i limiti notevoli bastano ed avanzano.
P.P.S.: Il limite di $1/x$ per $x->0$ non è indeterminato... Non esiste e basta.
Si, non esiste ma credi che sia scorretto dire "indeterminato" quando il valore salta da - a + quando ci si muove di un nonnulla dallo zero- allo zero+.
Per analogia chiedo anche se sia scorretto dire che il valore sella serie 1-1+1-1+1-1... sia indeterminato o semplicemente non converga.
Per analogia chiedo anche se sia scorretto dire che il valore sella serie 1-1+1-1+1-1... sia indeterminato o semplicemente non converga.
"gugo82":
[quote="lasy"][quote="reda99"]Per me non ha senso.
Il limite di $1/x$ in $0$ è indeterminato, se ci arrivi dal lato sinistro è −∞ invece dal lato destro +∞
sono d'accordo con te, però sto vedendo che il libro del liceo scientifico usa questa "forma abbreviata"
spesso[/quote]
Quale libro?
Di certo non è conforme all'uso dei simboli che usualmente si fa dalle nostre parti.
P.S.: Per le formule di prostaferesi, il denominatore è uguale a $-2 sin(3/2 x) sin(x/2)$, quindi i limiti notevoli bastano ed avanzano.
P.P.S.: Il limite di $1/x$ per $x->0$ non è indeterminato... Non esiste e basta.[/quote]
il Sasso - DeA Scuola
Chiedo scusa se mi introduco in questo thread e colgo l'occasione per salutare tutti. Solo per specificare, riporto la foto della pagina del Sasso-Zanone in mio possesso, che dovrebbe essere la penultima edizione del libro riservato ai licei scientifici, dove gli autori specificano questo "abuso di notazione", come chiarito nella nota in blu sulla sinistra. Spero, con questo, di contribuire in minima parte a dirimere il dubbio.
E, come sempre,
saluti
E, come sempre,
saluti
@ BayMax: Ah, ecco... Per l'appunto, è un abuso; ma più che un abuso è una vera e propria sgrammaticatura.
@ reda99:
Sì, è scorretto.
Il limite o esiste o non esiste.
Usualmente, "indeterminato/a" si usa quando il risultato (di un'operazione o di altro) esiste ma non è univocamente determinato (e.g., la divisione esatta $0:0$ è indeterminata, perché esistono infiniti numeri che moltiplicati per $0$ danno come risultato $0$); qui, invece, non esiste nessun elemento in $RR uu \{ +- oo\}$ che goda delle proprietà richieste nella definizione di limite.
E non è che "ci si muove di un nonnulla dallo $0^-$ allo $0^+$": $0^-$ e $0^+$ non sono numeri, quindi non ci si muove tra di essi.
Scorretto è, anzitutto, parlare de "il valore della serie".
Si parla della somma della serie (cioè, del limite della successione delle somme parziali), ma unicamente quando questa esiste -finito o meno-; quando la somma è finita, si dice che la serie è convergente, quando la somma è infinita, si dice che la serie è divergente (positivamente o negativamente, a seconda dei casi).
Quando il limite non esiste, si dice che la serie è oscillante.
Dire che la serie non è convergente significa che o è divergente o è oscillante.
Quindi -almeno alle nostre latitudini[nota]Nei paesi di tradizione anglosassone la terminologia è un po' differente.[/nota]- "divergente" non vuol dire "non convergente".
Ad esempio: $sum_n (-1)^n$ è una serie oscillante, dato che le sue somme parziali sono espresse da $s_n =((-1)^n + 1)/2$ e tale successione non ha limite.
@ reda99:
"reda99":
Si, non esiste ma credi che sia scorretto dire "indeterminato" quando il valore salta da - a + quando ci si muove di un nonnulla dallo zero- allo zero+.
Sì, è scorretto.
Il limite o esiste o non esiste.
Usualmente, "indeterminato/a" si usa quando il risultato (di un'operazione o di altro) esiste ma non è univocamente determinato (e.g., la divisione esatta $0:0$ è indeterminata, perché esistono infiniti numeri che moltiplicati per $0$ danno come risultato $0$); qui, invece, non esiste nessun elemento in $RR uu \{ +- oo\}$ che goda delle proprietà richieste nella definizione di limite.
E non è che "ci si muove di un nonnulla dallo $0^-$ allo $0^+$": $0^-$ e $0^+$ non sono numeri, quindi non ci si muove tra di essi.
"reda99":
Per analogia chiedo anche se sia scorretto dire che il valore sella serie 1-1+1-1+1-1... sia indeterminato o semplicemente non converga.
Scorretto è, anzitutto, parlare de "il valore della serie".
Si parla della somma della serie (cioè, del limite della successione delle somme parziali), ma unicamente quando questa esiste -finito o meno-; quando la somma è finita, si dice che la serie è convergente, quando la somma è infinita, si dice che la serie è divergente (positivamente o negativamente, a seconda dei casi).
Quando il limite non esiste, si dice che la serie è oscillante.
Dire che la serie non è convergente significa che o è divergente o è oscillante.
Quindi -almeno alle nostre latitudini[nota]Nei paesi di tradizione anglosassone la terminologia è un po' differente.[/nota]- "divergente" non vuol dire "non convergente".
Ad esempio: $sum_n (-1)^n$ è una serie oscillante, dato che le sue somme parziali sono espresse da $s_n =((-1)^n + 1)/2$ e tale successione non ha limite.
"gugo82":
@ BayMax: Ah, ecco... Per l'appunto, è un abuso; ma più che un abuso è una vera e propria sgrammaticatura.
@ reda99: [quote="reda99"]Si, non esiste ma credi che sia scorretto dire "indeterminato" quando il valore salta da - a + quando ci si muove di un nonnulla dallo zero- allo zero+.
Sì, è scorretto.
Il limite o esiste o non esiste.
Usualmente, "indeterminato/a" si usa quando il risultato (di un'operazione o di altro) esiste ma non è univocamente determinato (e.g., la divisione esatta $0:0$ è indeterminata, perché esistono infiniti numeri che moltiplicati per $0$ danno come risultato $0$); qui, invece, non esiste nessun elemento in $RR uu \{ +- oo\}$ che goda delle proprietà richieste nella definizione di limite.
E non è che "ci si muove di un nonnulla dallo $0^-$ allo $0^+$": $0^-$ e $0^+$ non sono numeri, quindi non ci si muove tra di essi.
"reda99":
Per analogia chiedo anche se sia scorretto dire che il valore sella serie 1-1+1-1+1-1... sia indeterminato o semplicemente non converga.
Scorretto è, anzitutto, parlare de "il valore della serie".
Si parla della somma della serie (cioè, del limite della successione delle somme parziali), ma unicamente quando questa esiste -finito o meno-; quando la somma è finita, si dice che la serie è convergente, quando la somma è infinita, si dice che la serie è divergente (positivamente o negativamente, a seconda dei casi).
Quando il limite non esiste, si dice che la serie è oscillante.
Dire che la serie non è convergente significa che o è divergente o è oscillante.
Quindi -almeno alle nostre latitudini[nota]Nei paesi di tradizione anglosassone la terminologia è un po' differente.[/nota]- "divergente" non vuol dire "non convergente".
Ad esempio: $sum_n (-1)^n$ è una serie oscillante, dato che le sue somme parziali sono espresse da $s_n =((-1)^n + 1)/2$ e tale successione non ha limite.[/quote]
ci sarebbero tutti gli estremi per una segnalazione di errore alla casa editrice, che dici?
Non credo sia un errore, quanto piuttosto una voluta (ed orrenda) scelta autoriale.
"gugo82":
Non credo sia un errore, quanto piuttosto una voluta (ed orrenda) scelta autoriale.
grazie
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