Limite con integrale

[redlex91-votailprof]

$lim_(x->0)(int_0^(3x)(e^(t^2)-1)(sin^3t)dt)/(1-cosx)^3

Facendo l'hospital, la derivata del numeratore è: $(e^(x^2)-1)(sin^3x)$?

[Raptorista1]

Yes, by Teorema Fondamentale del Calcolo!

[giammaria2]

No, falso. Posto $u=3x$ e $F(u)=int_0^u f(t)dt$ il teorema dice che $F'(u)= (dF)/(du)=f(u)$. Invece
$F'(x)=(dF)/(dx)=(dF)/(du)*(du)/(dx)=f(u)*3=3f(3x)$

Ho controllato la mia risposta usando $f(t)=cost$; Raptorista ha avuto un momento di distrazione nel leggere il testo.

[redlex91-votailprof]

Grazie mille! Una mia compagna sosteneva che al posto di $t$ andava messo $3x$, ma non aveva molto senso... però non si sa mai.

[Raptorista1]

"giammaria":Raptorista ha avuto un momento di distrazione nel leggere il testo.

Ah sì, non l'avevo proprio visto quel '$3$'
Chiedo scusa per la svista e ringrazio giammaria, ero in un momento di fretta

[redlex91-votailprof]

Dunque, dunque: $F(x)=G(H(x))=GoH(x)$ con $G(x)=int_0^x (e^(t^2)-1)*sin^3t*dt$ e $H(x)=3x$

quindi $F'(x)=[GoH(x)]'=G'(H(x))*H'(x)$ ossia $G'(H(x))=(e^((3x)^2)-1)*sin^3(3x)$ mentre $H'(x)=(3x)'=3$
e infine $F'(x)=3*[(e^(9x^2)-1)*sin^3(3x)]

[tex]\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\int_0^{3x}(e^{t^2}-1)\sin^{3}tdt}{(1-\cos{x})^3}\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{3(e^{9x^2}-1)\sin^3{3x}}{3(1-\cos{x})^2\sin{x}}=\lim_{x\to0}\frac{3(9x^2)(3x)^3}{3x\cdot\frac{1}{4}x^4}\]=972[/tex] può essere?

[giammaria2]

Ottengo lo stesso risultato; non ho seguito con attenzione i tuoi calcoli.

[redlex91-votailprof]

Una curiosità: al posto di $3x$ si potrebbe mettere una funzione qualunque, oppure solo multipli di $x$?

[giammaria2]

In teoria, può esserci una funzione qualunque; in pratica, mi è difficile immaginare un problema in cui questo capiti.