Limite con Hopital

[frank102]

Devo usare Hopital su:

$lim_(x->+oo)[x-x^2log(1+1/x)] $

Ho $+oo-0*+oo$

Uso l'Hopital sul secondo membro ponendo $(log(1+1/x))/(1/x^2)$
e ho $((-1/x^2)/(1+1/x))/(-2/x^3)$

$(-1/x^2)(x/(x+1))(-x^3/2)=(x^2)/(2x+2)$

aggiungendo la prima parte ho $lim_(x->+oo)x-(x^2)/(2x+2) =lim_(x->+oo)(x^2+2x)/(2x+2) =+oo$

Dovrebbe venire 1/2, invece mi viene +00
Come mai ?

[@melia]

Non puoi calcolare il limite a pezzetti perché restano ancora delle forme indeterminate alle quali hai applicato il teorema della somma, devi farlo tutto insieme riducendolo nella forma $0/0$, quindi
$lim_(x->+oo)[x-x^2log(1+1/x)] =lim_(x->+oo)[1/x-log(1+1/x)]/(1/x^2) $, applicando l'Hopital viene $1/2$

[frank102]

A me viene fuori ancora +oo


EDIT

Poi, scusa, non ho capito perché non posso applicare il teorema della somma su un limite con parti indeterminate? Le scindo e provo a determinarle, no?
Se alla fine avessi ancora una indeterminatezza, allora procederò in un altro modo, ma non vedo l'errore nel procedere così...

[@melia]

non ho capito perché non posso applicare il teorema della somma su un limite con parti indeterminate?

Non puoi applicare il teorema della somma separatamente su parti indeterminate di uno stesso limite, prova ne è che il tuo limite viene sbagliato, mentre il mio no.
$lim_(x->+oo)[x-x^2log(1+1/x)] =lim_(x->+oo)[1/x-log(1+1/x)]/(1/x^2) = lim_(x->+oo)[-1/x^2+1/(x*(x+1))]/(-2/x^3) = lim_(x->+oo) -x^3/2 * (-1/(x^2*(x+1)))=lim_(x->+oo) x/(2*(x+1))=1/2$

[@melia]

Pensa a questo limite $lim_(x->0) (x-sinx)/x^3$ se applichi il teorema di De L'Hopital un po' di volte viene $1/6$, se, invece, lo spezzi e applichi Hopital solo al $lim_(x->0) sinx/x^3= lim_(x->0) cosx/(3x^2)$ e poi ritorni dentro al limite di partenza ottieni $lim_(x->0) (3-cosx)/(3x^2)=oo$

[frank102]

Hai ragione, sul tuo limite avevo sbagliato un segno.

Chiaro anche il secondo esempio.

Mi ero confuso anche perché avevo provato un prog gratuito di plot funzioni su pc, Deadline 2.36, che mi fa un grafico che va all'infinito.

Lo segnalerò all'autore.

EDIT:
ho provato quello del vostro sito:
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("x-x^2*log(1+1/x)");[/asvg]

Bene, grazie ancora @melia.
Ciao

[@melia]

Prego e buono studio.