Limite con forma d'indecisione
Buonasera,
ultimamente le cose per la mia preparazione all'esame di matematica filavano troppo lisce, quasi da non crederci... Ed ora ecco dove mi sono impigliato (sento sia una stupidata)!
Ho il limite $ lim_(x -> 0)(e^x+x)^(1/x) $ dunque con forma di indeterminazione $ 1^oo $
Ora, procedo riscrivendo il limite in forma esponenziale $ e^(1/x*log(e^x+x)) $ e arrivo alla forma di indeterminazione $ oo*0 $. Da qui non so come procedere: cerco di derivare ma non arrivo al risultato e con McLaurin non saprei neanche da dove iniziare!
Vi ringrazio in anticipo ragazzi per l'aiuto
ultimamente le cose per la mia preparazione all'esame di matematica filavano troppo lisce, quasi da non crederci... Ed ora ecco dove mi sono impigliato (sento sia una stupidata)!
Ho il limite $ lim_(x -> 0)(e^x+x)^(1/x) $ dunque con forma di indeterminazione $ 1^oo $
Ora, procedo riscrivendo il limite in forma esponenziale $ e^(1/x*log(e^x+x)) $ e arrivo alla forma di indeterminazione $ oo*0 $. Da qui non so come procedere: cerco di derivare ma non arrivo al risultato e con McLaurin non saprei neanche da dove iniziare!
Vi ringrazio in anticipo ragazzi per l'aiuto
Risposte
Non so se è esatto (mi dà $+infty$) ma prova a mettere in evidenza $e^x$ nell'argomento del log e poi a sfruttare la proprietà dello stesso relativo al log del prodotto........
La soluzione fornita è e^2, solo che non so come arrivarci :S... Ti ringrazio comunque per l'interesse
Pensa che io avrei detto 1! Ho dimenticato un sacco di cose si vede, speriamo che intervenga qualcuno 
"stefano8292ec":
...
Ho il limite $ lim_(x -> 0)(e^x+x)^(1/x) $ dunque con forma di indeterminazione $ 1^oo $
Ora, procedo riscrivendo il limite in forma esponenziale $ e^(1/x*log(e^x+x)) $ e arrivo alla forma di indeterminazione $ oo*0 $. .....
$lim_(x -> 0)(e^x+x)^(1/x) = lim_(x -> 0)e^log((e^x+x)^(1/x)) = lim_(x -> 0)e^(log(e^x+x)/x) =e^(lim_(x -> 0)log(e^x+x)/x)$,
ma
$lim_(x -> 0)log(e^x+x)/x= lim_(x -> 0)((e^x+1)/(e^x+x))/1=((1+1)/(1+0))/1=2$.
Quindi
$lim_(x -> 0)(e^x+x)^(1/x)=e^2$.
Grazie molte Chiara 
... Mi rimane poco chiaro l'ultimo passaggio, malgrado mi fidi ciecamente di ciò che hai fatto (non avrei alcun elemento per non farlo XD ).
La formula per trasformare è in questo caso $ f(x)/(1/g(x)) $
Io, evidentemente erroneamente, identifico come f(x) $ e^x+x $ e come g(x) $ 1/x $: come fai ad arrivare a $ ((e^x+1)/(e^x+x))/1 $
Buona domenica e grazie ancora
Stefano
... Mi rimane poco chiaro l'ultimo passaggio, malgrado mi fidi ciecamente di ciò che hai fatto (non avrei alcun elemento per non farlo XD ).La formula per trasformare è in questo caso $ f(x)/(1/g(x)) $
Io, evidentemente erroneamente, identifico come f(x) $ e^x+x $ e come g(x) $ 1/x $: come fai ad arrivare a $ ((e^x+1)/(e^x+x))/1 $
Buona domenica e grazie ancora
Stefano
Ha applicato il teorema di De L'Hopital.
Ad ogni esercizio che mi spiegate, imparo sempre cose nuove. Vi ringrazio molto per la pazienza ...
p.s. avevo tralasciato il log e dunque non consideravo $ (f'(x))/f(x)) $
... p.s. avevo tralasciato il log e dunque non consideravo $ (f'(x))/f(x)) $
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