Limite con cambio di variabile
Ho questo limite che suppongo si risolva con un cambio di variabile:
$ lim_(x -> +oo) (1+1/(x^2+x))^(3x^2-2x) $
Noto che è molto simile al limite notevole:
$ lim_(@ -> +oo) (1+n/(@))^(@)= e^n $
ma non riesco proprio a capire la strategia risolutiva...
Qualche aiuto?
$ lim_(x -> +oo) (1+1/(x^2+x))^(3x^2-2x) $
Noto che è molto simile al limite notevole:
$ lim_(@ -> +oo) (1+n/(@))^(@)= e^n $
ma non riesco proprio a capire la strategia risolutiva...
Qualche aiuto?
Risposte
$ lim_(x -> +oo) (1+1/(x^2+x))^(3x^2-2x) $
$lim_(x -> +infty) ([1+1/(x^2+x)]^(x^2+x))^((3x^2-2x)/(x^2+x))$
$lim_(x-> +infty) e^((3x^2-2x)/(x^2+x))$
$lim_(x -> +infty) ([1+1/(x^2+x)]^(x^2+x))^((3x^2-2x)/(x^2+x))$
$lim_(x-> +infty) e^((3x^2-2x)/(x^2+x))$
E perchè $[1+1/(x^2+x)]^(x^2+x)=e$ ?
Perchè applico il limite notevole e quindi fa $e^1$?
Credevo non si potessero applicare i limiti notevoli e poi continuare! Pensavo si potesse sostituire la $x$ a ciò che tende solo 'tutto in un'unica volta'!
E, comunque, affinchè il limite notevole sia valido non dovrebbe essere $x^2+x -> +oo$?
Perdona le mie domande se risultano stupide!
Perchè applico il limite notevole e quindi fa $e^1$?
Credevo non si potessero applicare i limiti notevoli e poi continuare! Pensavo si potesse sostituire la $x$ a ciò che tende solo 'tutto in un'unica volta'!
E, comunque, affinchè il limite notevole sia valido non dovrebbe essere $x^2+x -> +oo$?
Perdona le mie domande se risultano stupide!
Diciamo che una cosa un po' complicata e io non sono il più adatto per rispondere; peraltro è un argomento che nel forum è stato dibattuto spesso … prova a cercare …
Per farla breve (e sommaria) quando hai una somma algebrica non puoi sostituire un pezzo alla volta (per esempio se sottrai qualcosa di infinitesimo a qualcosa di infinitesimo non sai a priori chi "vince") mentre se sostituisci un fattore di una moltiplicazione non ci sono problemi (o non ci dovrebbero essere …
)
E non ci sono problemi quando hai una situazione come questa (ma proprio così, se fosse più complicata non saprei, non mi assumo responsabilità
)
Cordialmente, Alex
Per farla breve (e sommaria) quando hai una somma algebrica non puoi sostituire un pezzo alla volta (per esempio se sottrai qualcosa di infinitesimo a qualcosa di infinitesimo non sai a priori chi "vince") mentre se sostituisci un fattore di una moltiplicazione non ci sono problemi (o non ci dovrebbero essere …
)E non ci sono problemi quando hai una situazione come questa (ma proprio così, se fosse più complicata non saprei, non mi assumo responsabilità
)Cordialmente, Alex
"erroreconcettuale":
E, comunque, affinchè il limite notevole sia valido non dovrebbe essere $x^2+x -> +oo$?
Sì, ma quello lo è ...
Sì, mi sono accorto ora!
Grazie mille!!!
Grazie mille!!!
Qui sì invece che c'è il cambio di variabile!
$ lim_(x -> 1^+) (1/(x-1))^(sen(x-1) $
$x-1 -> 0$ quindi $y=x-1$ e allora $lim_(x->1^+) (x-1) = 0$
$ lim_(y -> 0) (1/y)^(sen(y) $
Ma oltre qui non so continuare...
$ lim_(x -> 1^+) (1/(x-1))^(sen(x-1) $
$x-1 -> 0$ quindi $y=x-1$ e allora $lim_(x->1^+) (x-1) = 0$
$ lim_(y -> 0) (1/y)^(sen(y) $
Ma oltre qui non so continuare...
Considerando la stima asintotica per il seno e le proprietà dei logaritmi puoi riscriverlo così:
$ lim_(y -> 0) (1/y)^y =lim_ (y -> 0) e^ln[(1/y)^y]= lim_ (y -> 0)e^(-ylny) $
E nota che più precisamente si dovrebbe scrivere che y tende a 0 più (dato che x tende a 1 più) dunque il logaritmo è definito. Comunque da qui si può risolvere il limite "più interno" che compare nella potenza velocemente per esempio con de l'Hopital
$ lim_(y -> 0) (1/y)^y =lim_ (y -> 0) e^ln[(1/y)^y]= lim_ (y -> 0)e^(-ylny) $
E nota che più precisamente si dovrebbe scrivere che y tende a 0 più (dato che x tende a 1 più) dunque il logaritmo è definito. Comunque da qui si può risolvere il limite "più interno" che compare nella potenza velocemente per esempio con de l'Hopital
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