Limite banale
Ciao ragazzi, ho qualche problemino 
nel risolvere questo limite banale, almeno così sembra 
:
$ lim_(x -> 0) ((1+x)^5-1)/x $ ; Lo dovrei svolgere utilizzando i limiti notevoli, come espressamente richiesto dal libro.
Grazie
nel risolvere questo limite banale, almeno così sembra :$ lim_(x -> 0) ((1+x)^5-1)/x $ ; Lo dovrei svolgere utilizzando i limiti notevoli, come espressamente richiesto dal libro.
Grazie
Risposte
Ciao, Frasandro.
A me personalmente - al di là dei teoremi sui limiti - sono noti solo due specifici limiti definiti come "notevoli", che sono i seguenti:
$lim_{x to 0}(senx)/x=1$
$lim_{x to pm oo}(1+1/x)^x=e$
Quindi credo che il tuo limite sia risolvibile in modo classico, usando, al più, qualche trucco algebrico.
Saluti.
A me personalmente - al di là dei teoremi sui limiti - sono noti solo due specifici limiti definiti come "notevoli", che sono i seguenti:
$lim_{x to 0}(senx)/x=1$
$lim_{x to pm oo}(1+1/x)^x=e$
Quindi credo che il tuo limite sia risolvibile in modo classico, usando, al più, qualche trucco algebrico.
Saluti.
Ringrazio Bubbino1993 per questo link molto utile
l'ho già risolto seguendo le indicazioni del video che sfrutta il limite notevole: $ lim_(x -> 0) (ln(1+x))/x =1 $
"Bubbino1993":;
https://www.youtube.com/watch?v=bIWhYzr13f0
"alessandro8":
Ciao, Frasandro.
A me personalmente - al di là dei teoremi sui limiti - sono noti solo due specifici limiti definiti come "notevoli", che sono i seguenti:
$ lim_{x to 0}(senx)/x=1 $
$ lim_{x to pm oo}(1+1/x)^x=e $
Quindi credo che il tuo limite sia risolvibile in modo classico, usando, al più, qualche trucco algebrico.
Saluti.
l'ho già risolto seguendo le indicazioni del video che sfrutta il limite notevole: $ lim_(x -> 0) (ln(1+x))/x =1 $
altro piccolo problema con questo limite, meno banale del primo 
, $ lim_(x -> oo ) ((x-3)/(x+4))^((x^2-1)/(2x)) $
il risultato dovrebbe essere $ e^-(7/2) $ usando i limiti notevoli, devo usare questi , arrivo "facilmente" ad avere $ e^7^((x^2-1)/(2x)) $ ma il limite dell'esponente mi risulta $ -oo $
secondo i miei calcoli il risultato dell'esercizio è $ 0 $ e non $ e^-(7/2) $. Se mi risulta quel $ e^7$ il problema sta in quel $ ((x^2-1)/(2x))$ .... suggerimenti?
, $ lim_(x -> oo ) ((x-3)/(x+4))^((x^2-1)/(2x)) $ il risultato dovrebbe essere $ e^-(7/2) $ usando i limiti notevoli, devo usare questi
, arrivo "facilmente" ad avere $ e^7^((x^2-1)/(2x)) $ ma il limite dell'esponente mi risulta $ -oo $ secondo i miei calcoli il risultato dell'esercizio è $ 0 $ e non $ e^-(7/2) $. Se mi risulta quel $ e^7$ il problema sta in quel $ ((x^2-1)/(2x))$ .... suggerimenti?
Basta cambiare variabile al limite (2 volte).
1) ponendo $x+4=t$, l'espressione nel limite (con qualche conto) si trasforma in $(1-7/t)^(t/2-3)$, con $t to +oo$;
2) ponendo $-7/t=1/x$, l'espressione cambia in $(1+1/x)^(-7/2x-3)$, con $t to -oo$
A questo punto dovresti essere a posto.
1) ponendo $x+4=t$, l'espressione nel limite (con qualche conto) si trasforma in $(1-7/t)^(t/2-3)$, con $t to +oo$;
2) ponendo $-7/t=1/x$, l'espressione cambia in $(1+1/x)^(-7/2x-3)$, con $t to -oo$
A questo punto dovresti essere a posto.
Propongo un metodo alternativo, che può risultare più semplice o più complicato, a seconda dei gusti personali.
Partiamo da \[
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-3}{x+4}\right)^{\frac{x^2-1}{2x}}
\] e ci accorgiamo che è una forma indeterminata del tipo $1^oo$. Cerchiamo quindi di sfruttare il famoso limite notevole \[
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k
\] Iniziamo sistemando l'interno \[
\left(1-\frac{7}{x+4}\right)^{x+4}
\] Questo è ciò che vorremmo, ma così le potenze non tornano. Per fare in modo che questa nuova forma sia equivalente alla precedente, dobbiamo dividere l'esponente per $x+4$ e moltiplicare per $(x^2-1)/(2x)$. Ricordando la proprietà delle potenze \[
\left(a^b\right)^c = a^{bc}
\] ci accorgiamo che è sufficiente elevare tutto a $(x^2-1)/(2x(x+4))$. In conclusione la nuova forma sarà \[
\Large
\lim_{x\to\infty}\left[ \left(1-\frac{7}{x+4}\right)^{x+4} \right]^{\frac{x^2-1}{2x\left(x+4\right)}}
\] Passando al limite, la parte interna tende a $e^(-7)$ mentre l'esponente tende a $1/2$. In conclusione il risultato è \[
\Large
\left(e^{-7}\right)^{\frac{1}{2}} = e^{-\frac{7}{2}}
\]
Partiamo da \[
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-3}{x+4}\right)^{\frac{x^2-1}{2x}}
\] e ci accorgiamo che è una forma indeterminata del tipo $1^oo$. Cerchiamo quindi di sfruttare il famoso limite notevole \[
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k
\] Iniziamo sistemando l'interno \[
\left(1-\frac{7}{x+4}\right)^{x+4}
\] Questo è ciò che vorremmo, ma così le potenze non tornano. Per fare in modo che questa nuova forma sia equivalente alla precedente, dobbiamo dividere l'esponente per $x+4$ e moltiplicare per $(x^2-1)/(2x)$. Ricordando la proprietà delle potenze \[
\left(a^b\right)^c = a^{bc}
\] ci accorgiamo che è sufficiente elevare tutto a $(x^2-1)/(2x(x+4))$. In conclusione la nuova forma sarà \[
\Large
\lim_{x\to\infty}\left[ \left(1-\frac{7}{x+4}\right)^{x+4} \right]^{\frac{x^2-1}{2x\left(x+4\right)}}
\] Passando al limite, la parte interna tende a $e^(-7)$ mentre l'esponente tende a $1/2$. In conclusione il risultato è \[
\Large
\left(e^{-7}\right)^{\frac{1}{2}} = e^{-\frac{7}{2}}
\]
"minomic":
Propongo un metodo alternativo, che può risultare più semplice o più complicato, a seconda dei gusti personali.
Partiamo da \[
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-3}{x+4}\right)^{\frac{x^2-1}{2x}}
\] e ci accorgiamo che è una forma indeterminata del tipo $1^oo$. Cerchiamo quindi di sfruttare il famoso limite notevole \[
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k
\] Iniziamo sistemando l'interno \[
\left(1-\frac{7}{x+4}\right)^{x+4}
\] Questo è ciò che vorremmo, ma così le potenze non tornano. Per fare in modo che questa nuova forma sia equivalente alla precedente, dobbiamo dividere l'esponente per $x+4$ e moltiplicare per $(x^2-1)/(2x)$. Ricordando la proprietà delle potenze \[
\left(a^b\right)^c = a^{bc}
\] ci accorgiamo che è sufficiente elevare tutto a $(x^2-1)/(2x(x+4))$. In conclusione la nuova forma sarà \[
\Large
\lim_{x\to\infty}\left[ \left(1-\frac{7}{x+4}\right)^{x+4} \right]^{\frac{x^2-1}{2x\left(x+4\right)}}
\] Passando al limite, la parte interna tende a $e^(-7)$ mentre l'esponente tende a $1/2$. In conclusione il risultato è \[
\Large
\left(e^{-7}\right)^{\frac{1}{2}} = e^{-\frac{7}{2}}
\]
Io ho utilizzato lo stesso metodo ma alla fine mi ritrovo con questa scrittura $ lim_(x -> oo )(1+(7)/(x-3))^-((x^2-1)/(2x)) $
che alla fine è la stessa della tua perchè mi risulta ugualmente
; Sbagliavo a fare un passaggio.... alla prossima, GRAZIE
"Frasandro":
Io ho utilizzato lo stesso metodo ma alla fine mi ritrovo con questa scrittura $ lim_(x -> oo )(1+(7)/(x-3))^-((x^2-1)/(2x)) $
Ok, è equivalente, però non capisco perché hai voluto girare sottosopra la frazione e introdurre un $-$ a esponente. Mi sembra una inutile complicazione...
Sì, potevo fare come hai fatto tu ma in quel momento mi è venuto fuori così 
!!
Altro esercizio e altro piccolo dubbio: $ lim_(x -> 0^+) x^(1/log^2x) $ dovremmo essere nel caso di $ 0^0 $ dovrebbe venire 1 ma....non mi risulta
!! Altro esercizio e altro piccolo dubbio: $ lim_(x -> 0^+) x^(1/log^2x) $ dovremmo essere nel caso di $ 0^0 $ dovrebbe venire 1 ma....non mi risulta
Basta riscrivere come \[
\Large
e^{\log{\left(x^{\frac{1}{\log^2 x}}\right)}} = e^{\frac{1}{\log^2 x}\cdot \log x} = e^{\frac{1}{\log x}}
\] che tende a $1$.
\Large
e^{\log{\left(x^{\frac{1}{\log^2 x}}\right)}} = e^{\frac{1}{\log^2 x}\cdot \log x} = e^{\frac{1}{\log x}}
\] che tende a $1$.
Stamattina sono poco lucido 
... banale banale banale.... grazie
... banale banale banale.... grazie
"Frasandro":
banale banale banale
Diciamo che non c'è nulla di banale, fino a quando non si è capito come farlo!
Io non sono di quelli che dicono "non esistono domande stupide"... per me le domande stupide esistono eccome! Però non sono certo queste...
Io porrei, semplicemente, $log x=t Rightarrow x=e^t$
Quindi: $lim_{x to 0^+} x^(1/(log^2x))=lim_{t to -oo} (e^t)^(1/t^2)=lim_{t to -oo} e^(1/t)=1^-$
Saluti.
Quindi: $lim_{x to 0^+} x^(1/(log^2x))=lim_{t to -oo} (e^t)^(1/t^2)=lim_{t to -oo} e^(1/t)=1^-$
Saluti.
Evito di aprire un nuovo topic, sempre di limiti si parla
ho un dubbio sul risultato di questo limite: $ lim_(x -> -oo ) ((4+x^2)^(1/2)+x) $
E' un esercizio contenuto in un file scaricato da internet e secondo l'autore e il risolutore automatico dovrebbe risultare $0$;
Io, dopo aver razionalizzato, ottengo $ lim_(x -> -oo ) 4/((4+x^2)^(1/2)-x) $ , andando avanti....
$ lim_(x -> -oo ) 4/(|x|sqrt(4/x^2+1)-x) $ visto il $-oo $ $ lim_(x -> -oo ) 4/(-x sqrt(+1)-x) = 4/-oo=0$ giusto?
ho un dubbio sul risultato di questo limite: $ lim_(x -> -oo ) ((4+x^2)^(1/2)+x) $
E' un esercizio contenuto in un file scaricato da internet e secondo l'autore e il risolutore automatico dovrebbe risultare $0$;
Io, dopo aver razionalizzato, ottengo $ lim_(x -> -oo ) 4/((4+x^2)^(1/2)-x) $ , andando avanti....
$ lim_(x -> -oo ) 4/(|x|sqrt(4/x^2+1)-x) $ visto il $-oo $ $ lim_(x -> -oo ) 4/(-x sqrt(+1)-x) = 4/-oo=0$ giusto?
Ciao,
direi che quando arrivi a $ lim_(x -> -oo ) 4/((4+x^2)^(1/2)-x) $ puoi subito concludere che tende a $4/(+oo) = 0$.
P.S. Nell'ultima riga secondo me avevi sbagliato il segno: se $x -> -oo$ allora $-x -> +oo$.
direi che quando arrivi a $ lim_(x -> -oo ) 4/((4+x^2)^(1/2)-x) $ puoi subito concludere che tende a $4/(+oo) = 0$.
P.S. Nell'ultima riga secondo me avevi sbagliato il segno: se $x -> -oo$ allora $-x -> +oo$.
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