LIMITE APPARENTEMENTE SEMPLICE
Qualcuno sa come si risolve questo limite, apparentemente semplice? (possibilmente non usando De L'Hopital...)
$lim_{x to 0} (x-sinx)/(x-tanx)
Grazie...
$lim_{x to 0} (x-sinx)/(x-tanx)
Grazie...
Risposte
Prova ad utilizzare gli sviluppi di Taylor centrati in 0.
Ehm... Non li abbiamo mai fatti... 
Non c'è un altro modo, ho provato tutti gli sviluppi!!!
Non c'è un altro modo, ho provato tutti gli sviluppi!!!
Non vedo perché non si dovrebbe usare De L'Hopital. Se quella è la regola, molto semplice tra l'altro, allora basta applicarla.
Non vedo perché non si dovrebbe usare De L'Hopital. Se quella è la regola, molto semplice tra l'altro, allora basta applicarla.
Beh, è come se un nuotatore chiedesse all'istrutore: "Ma perchè non posso usare le pinne? Vado più veloce e sono così semplici da usare..."...
Allora io ti chiedo, secondo te allora a cosa serve la matematica se non puoi usare gli strumenti che lei crea per semplificarci la vita?
"cavallipurosangue":
Allora io ti chiedo, secondo te allora a cosa serve la matematica se non puoi usare gli strumenti che lei crea per semplificarci la vita?
Esattissimo... Però il signor De L'Hopital avrebbe trovato un sistema per risolvere un limite del genere, prima di elaborare il suo geniale teorema...
Beh, certo... un esercizio così sembra assurdo cercare di risolverlo in un modo alternativo, pur conoscendo gli strumenti per risolverlo e avendo la soluzione a portata di mano, però ritengo che se c'è una strada alternativa, benchè difficile, allora perchè non provare a percorrerla?
E poi torno al problema di base... il prof, al parziale, De L'Hopital non ce lo fa usare!!
Qualcuno riesce a risolvere questo benedetto limite??
$lim_{x to 0} (x-sinx)/(x-tanx)
I limiti non li ho ancora fatti. Premesso questo dico che: per valori di angoli molto piccoli i valori rispettivi di seno e tangente sono quasi uguali; più piccoli sono e più sono uguali. per cui io dico che il limite della funzione è 1. Ho detto delle castronerie o mi sono avviccinato?
"keji":
I limiti non li ho ancora fatti. Premesso questo dico che: per valori di angoli molto piccoli i valori rispettivi di seno e tangente sono quasi uguali; più piccoli sono e più sono uguali. per cui io dico che il limite della funzione è 1. Ho detto delle castronerie o mi sono avviccinato?
Non è una castroneria, se consideri che $lim_{x to 0} sinx/tanx =1
Però il limite in questione è diverso...
$lim_{x to 0} (x-sinx)/(x-tanx)
Noi stiamo togliendo un fattore infinitesimo a numeratore e denominatore...
Inoltre, se sviluppo usando De L'Hopital:
$lim_{x to 0} (x-sinx)/(x-tanx) =
$lim_{x to 0} (1-cosx)/(1-(1/(cosx)^2) =
$lim_{x to 0} sinx/((-2sinx)/(cosx)^3) =
$lim_{x to 0} cosx/(((-4(sinx)^2)+2)/(cosx)^4)) = $1/2$
Quindi non dà 1... Ma non riesco a trovare una soluzione alternativa...
Il limite fa $-1/2$ e lo volete sapere perchè da problemi con metodi "normali" perchè il seno e la tangente sono asintotiche fino al primo ordine, quindi si crea una forma indeterminata, e come si sioglie? Il modo più semplice è utilizzare aapunto Taylor fino al terzo ordine compreso. A quel punto infatti i termini di grado minore di due si annullano e rimangono solo i termini di grado tre che si semplificano perchè sono uguali, anzi perchè sono infinitesimi dello stesso ordine e si ottiene il risultato. Mi sa che con metodi "normali" faticheresti tantissimo per trovare la soluzione.
posto seno di 0.0...1 e tangente di 0.0...1 uguale a 0.0....2 mettiamo che siano uguali per comodità. Se li prendiamo abbastanza piccoli avremo lo stesso numero (se andiamo infinitamente vicini allo 0) se togliamo a due numeri la stessa quantità non otteniamo lo stesso numero sia a numeratore che a denominatore? Al massimo avremo un denominatore un po' più piccolo del numeratore. a quel punto 1/0? Si può assumere così per semplicità?
$sinx=x-x^3/6+o(x^3)$
$tgx=x+x^3/3+o(x^3)$
Quindi:
$\lim_{x\to0}{x-sinx}/{x-tgx}=\lim_{x\to0}{x-x+x^3/6+o(x^3)}/{x-x-x^3/3+o(x^3)}=\lim_{x\to0}{-x^3/6+o(x^3)}/{x^3/3+o(x^3)}=\lim_{x\to0}{-1/6}/{1/3}=-1/2$
$tgx=x+x^3/3+o(x^3)$
Quindi:
$\lim_{x\to0}{x-sinx}/{x-tgx}=\lim_{x\to0}{x-x+x^3/6+o(x^3)}/{x-x-x^3/3+o(x^3)}=\lim_{x\to0}{-x^3/6+o(x^3)}/{x^3/3+o(x^3)}=\lim_{x\to0}{-1/6}/{1/3}=-1/2$
Non si può fare un approssimazione come dici tu semplicemente perchè il seno e la tangente non sono funzioni uguali e perchè così facendo lasci intatta l'indeterminazione. Ci vuole una approssimazione migliore che in questo caso distingua l'andamento delle due funzioni ecco il motivo dell'approssimazione fino al terzo ordine
Grazie della spiegazione. Pensavo reggesse il mio ragionamento, a quanto pare no.
Ah capisco... quindi con i metodi ordinari è praticamente un'impresa risolvere uesto limite...
E Cavalli lo ha risolto solo con Taylor...
Devo concludere che il mio professore di analisi è un grandissimo cane, se ci mette codesta roba nei compiti, noi, poveri studentelli di informatica... Tsk...
E Cavalli lo ha risolto solo con Taylor...
Devo concludere che il mio professore di analisi è un grandissimo cane, se ci mette codesta roba nei compiti, noi, poveri studentelli di informatica... Tsk...
Si può anche risolvere direttamente con de l'Hopital, che è un metodo di comune conoscenza, infatti è nei programmi di qualsiasi corso di analisi che si rispetti, anzi addirittura si fa anche nei licei tradizionali. Taylor, pur essendo insegnato nella maggior parte dei corsi di analisi 1, ha lo svantaggio di esser a mio avviso ingoto a più persone, ma non mi chiedete il perchè..
Anche io non lo conoscevo prima..
Ma provate a fare questo limite senza taylor..
$lim_{x\to0}{(1-cosx)(sinx-x)+1/3x(e^x-1-x)^2}/{(x-sinx)^2}$
Anche io non lo conoscevo prima..
Ma provate a fare questo limite senza taylor..
$lim_{x\to0}{(1-cosx)(sinx-x)+1/3x(e^x-1-x)^2}/{(x-sinx)^2}$
"cavallipurosangue":
. Taylor, pur essendo insegnato nella maggior parte dei corsi di analisi 1, ha lo svantaggio di esser a mio avviso ingoto a più persone, ma non mi chiedete il perchè..
Anche io non lo conoscevo prima..
questa tua nota è vera: è inspiegabile come Taylor sia ignorato nell' "immaginario comune"!
eppure secondo me è la formula più importante dell'analisi!!!!!!, in quanto Taylor dimostra come ogni funzione, nell'intorno di un punto sia assimilabile ad un polinomio (con diverse approssimazioni ovviamente)
eppure secondo me è la formula più importante dell'analisi!!!!!!
Concordo, certo che lo è! è utilissima per fare migliaia di cose!
Non riesco proprio a vedere come si possa risolvere il "limite apparentemente semplice" senza ricorrere agli sviluppi di Taylor o alla regola di De L'Hopital !!
Ho provato a moltiplicare e dividere a sommare e sottrarre , ma niente , eppure ....
La difficoltà credo stia nel fatto che la funzione presenta sia il termine polinomiale x che le funzioni trigonometriche mischiate insieme : gli sviluppi di Taylor lo risolvon facilmente proprio perchè convertono tutto in polinomi .
Ci vuole qualche idea nuova, ma quale ?
Camillo
Ho provato a moltiplicare e dividere a sommare e sottrarre , ma niente , eppure ....
La difficoltà credo stia nel fatto che la funzione presenta sia il termine polinomiale x che le funzioni trigonometriche mischiate insieme : gli sviluppi di Taylor lo risolvon facilmente proprio perchè convertono tutto in polinomi .
Ci vuole qualche idea nuova, ma quale ?
Camillo
Voi immaginate uno studente che ha meno di un'ora per risolvere una roba del genere!
Sinceramente non ne caverei piede, e userei De L'Hopital in barba a quel cane del prof!
Sinceramente non ne caverei piede, e userei De L'Hopital in barba a quel cane del prof!
"nepero87":
Voi immaginate uno studente che ha meno di un'ora per risolvere una roba del genere!
Sinceramente non ne caverei piede, e userei De L'Hopital in barba a quel cane del prof!
Infatti, se si conosce un metodo bisogna usarlo. A volte è interessante trovare strade alternative, ma se non si riesce meglio usare i metodi "standard"
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